Паскалева геометрия

Паскалева геометрия или геометрия с коммутативным умножением — геометрия плоскости, построенной над полем. Название этой геометрии связано с тем, что в ней справедлива теорема Паппа, которая является частным случаем теоремы Паскаля.

Паскалева геометрия плоскости может быть построена над бесконечными или конечными полями, соответственно этому плоскость называется бесконечной или конечной паскалевой плоскостью.

Впервые важную роль теоремы Паппа в построении геометрической систем над бесконечными полями исследовал Гильберт, который устанавливал доказуемость теоремы Паппа при различных наборах аксиом из системы аксиом евклидова пространства. Гильберт показал, что теорему Паппа в бесконечной плоскости можно доказать с помощью плоскостных аксиом инцидентности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности, причём было установлено, что без аксиом непрерывности в этом случае теорему Паскаля доказать нельзя.

Опираясь же на пространственные аксиомы системы Гильберта, теорему Паппа можно доказать без аксиом конгруэнтности, но обязательно с применением аксиом непрерывности (т.е. исключение аксиом непрерывности в бесконечной плоскости приводит к непаскалевой геометрии). Возможность доказательства теоремы Паппа аналогична в указанном смысле возможности доказательства теоремы Дезарга с использованием пространственных аксиом, однако в доказательстве теоремы Паппа проявляется особая роль аксиом непрерывности Архимеда в бесконечных плоскостях (смотри неархимедова геометрия).

Теорема Паппа проективно выполняется в некоторой плоскости тогда и только тогда, когда умножение во всех натуральных телах этой плоскости обладает коммутативным свойством, или иначе: натуральное тело всякой паскалевой плоскости является полем и, наоборот, плоскость, построенная над полем, обладает паскалевой геометрией.

В любой проективной плоскости теорема Паппа влечет за собой теорему Дезарга.

Конечная паскалева плоскость как конечная проективная плоскость существует только в случае, если число точек, лежащих на каждой прямой этой плоскости, есть $p^s+1$, где $p$ — простое, $s$ — натуральное число. Так как всякое конечное альтернативное тело является полем, то в конечной плоскости теорема Дезарга влечет теорему Паппа, причем последняя является следствием так называемой малой теоремы Дезарга. Вместе с тем существуют конечные проективные плоскости, являющиеся непаскалевыми. Паскалева плоскость изоморфна двойственной себе плоскости.

Значение паскалевой геометрии определяется её ролью при исследовании независимости системы аксиом, в частности системы аксиом Гильберта евклидовой геометрии. При построении бесконечной плоскости на основе групп аксиом инцидентности, порядка и параллельности теорема Паппа должна рассматриваться как дополнительная аксиома. С другой стороны, с помощью комбинаций конечного числа конфигураций Паппа оказывается возможным решить задачи на построение, в которых используется лишь понятие инцидентности и, может быть, параллельности.

Литература

• Гильберт Д, Основания геометрии, пер. с нем., М.— Л., 1948;
• Вiberbach L., Einleitung in die höhere Geometrie, Lpz., 1933;
• Скорняков Л. А., «Успехи матeм. наук», 1951, т. 6, в. 6, с. 112—54;
• Dembowski P., Finite geometries, В.— [и. а.], 1968;
• Reidemeister К., Grundlagen der Geometrie, В., 1930;
• Артин Э., Геометрическая алгебра, М., 1969.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.