- Экспоненциальное отображение
-
Экспоненциальное отображение — далеко идущее обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.
Для риманова многообразия экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения в само многообразие .
Экспоненциальное отображение обычно обозначается , а его сужение на касательное пространство в точке обозначается и назывется экспоненциальным отображением в точке .
Содержание
Определение
Пусть — риманово многообразие и . Для каждого вектора существует единственная геодезическая , выходящая из точки (то есть ), такая что .
Экспоненциальное отображение вектора есть точка , или .
Свойства
- .
- Для каждой точки существует такое число , что экспоненциальное отображение определено для всех векторов , удовлетворяющих условию .
- Более того, является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве в некоторую окрестность точки многообразия . Таким образом, в некоторой окрестности точки многообразия определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое ), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства .
- В полном римановом многообразии, экспоненциальное отображение опеделено для любого касательного вектора.
- Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке является тождественным линейным оператором. То есть
- для любого . Здесь мы отождествляем пространство, касательное к , с ним самим.
- Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.
Ссылки
- А.В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс
Литература
- Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
- А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
- М.М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.
Категория:- Риманова (и псевдориманова) геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.