Формула Фаа-ди-Бруно

Формула Фаа ди Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно 1855), хотя реально первооткрывателем этой формулы является Луи Франсуа Антони Арбогаст, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации^[1] на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:

${d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},$

где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m₁, …, m_n), удовлетворяющих ограничению:

$1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n.\,$

Иногда, для лучшего запомнинания, формула записывается в следующем виде, однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации:

${d^n \over dx^n} f(g(x)) =\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.$

Суммируя члены с фиксированным значением m₁ + m₂ + … + m_n = k и заметив, что m _j должен быть равен нулю при j > n − k + 1 можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла B_n,k(x₁, …,x_n−k+1):

${d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

Комбинаторная форма

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

${d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x)$

где

• π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },
• "B ∈ π" означает, что переменная B пробегает части разбиения π, и
• |A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).

Пример

Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:

$\begin{align} (f\circ g)''''(x) & = f''''(g(x))g'(x)^4 + 6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^2 \\ & {} \quad+\; 3f''(g(x))g''(x)^2 + 4f''(g(x))g'''(x)g'(x) \\ & {} \quad+\; f'(g(x))g''''(x). \end{align}$

Все действия выполняются по следующем образцу:

$\begin{align} g'(x)^4 & & \leftrightarrow & & 1+1+1+1 & & \leftrightarrow & & f''''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 1 \\ \\ g''(x)g'(x)^2 & & \leftrightarrow & & 2+1+1 & & \leftrightarrow & & f'''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 6 \\ \\ g''(x)^2 & & \leftrightarrow & & 2+2 & & \leftrightarrow & & f''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 3 \\ \\ g'''(x)g'(x) & & \leftrightarrow & & 3+1 & & \leftrightarrow & & f''(g(x)) & & \leftrightarrow & & 4 \\ \\ g''''(x) & & \leftrightarrow & & 4 & & \leftrightarrow & & f'(g(x)) & & \leftrightarrow & & 1. \end{align}$

Множитель $\scriptstyle g''(x)g'(x)^2 \;$ очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель $\scriptstyle f'''(g(x))\;$ показывает, что имеется три слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно шесть разбиений множества из 4-х элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель $\scriptstyle g''(x)^2 \;$ в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а $\scriptstyle f''(g(x)) \,\!$ указывает на то, что в этом разбиении должно два слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только $\tfrac{1}{2}\tbinom{4}{2}=3$ способа разбить 4 элемента на группы размера 2.

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

Коэффициенты формулы Фаа ди Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество разбиений множества размера n, соответствующих разбиению числа n:

$\displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1} \,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} \,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots$

равно

$\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}.$

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Примечания

1. ↑ Arbogast L.F.A. Du calcul des derivations. — Levrault, 1800.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Faa di Bruno's Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Конспект лекции о формуле Фаа ди Бруно с примерами.
• В. А. Кудрявцев Общая формула для производной n-го порядка степени некоторой функции // Математическое Просвещение. — М.-Л.: ОНТИ, 1934. — В. 1. — С. 24-27.