Формула Торричелли (гидродинамика)

Не следует путать с Формула Торричелли (кинематика).

Фо́рмула Торриче́лли – связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием^[1].

Формула Торричелли утверждает, что скорость $v$ истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине $h$ от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты $h$, то есть

$v = \sqrt{2gh},$

где $g$ – ускорение свободного падения.

Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии $\frac{1}{2}mv^2$ и потерянной потенциальной энергии $mgh$.

Эта формула была получена (хотя и не в приведённой выше форме) итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.

Вывод

Закон Бернулли утверждает, что:

${v^2 \over 2}+gz+{p\over\rho}=\text{const},$

где v – это скорость жидкости, z – высота жидкости на точкой, для которой записывается уравнение Бернулли, p – давление, ρ – плотность жидкости.

Пусть отверстие находится на высоте z=0. У поверхности жидкости в резервуаре, давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z=0 и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:

$gz+{p_{atm}\over\rho}={v^2 \over 2}+{p_{atm}\over\rho}$

$\Rightarrow v^2=2gz\,$

$\Rightarrow v=\sqrt{2gz}$

z равно высоте h, и таким образом:

$v=\sqrt{2gh}.$

Литература

• T. E. Faber Fluid Dynamics for Physicists. — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-42969-2
• Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
• Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)

Примечания

1. ↑ Торричелли формула. Статьи в Физической энциклопедии и Физическом энциклопедическом словаре.