Теорема Ковалевской

Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.

Система Ковалевской

Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями $u_1,u_2,...,u_N$ вида

$\frac{\partial^{n_i} u_i(x,t)}{\partial x^{n_i}} = F_i \left (t,x,u_i,...,u_N,...,\frac{\partial^a u_j}{\partial t^{a_0} \partial x^{a_1}_1...\partial x^{a_n}_n},... \right )$,

где $x=(x_1,...,x_n)$ , $a=a_0+a_1+...+a_n$ , $a \le n_j$ , $a_0 \le n_j-1$ , $i,j=1,...,N$ , то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная $t$ выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка $n_i$ каждой функции системы содержится производная по $t$ порядка $n_i$ и система разрешена относительно этих производных.

Используется следующее обозначение:

$D^{a'}\phi^k_i(x) = \frac{\partial^{a'} \phi^k_i(x)}{\partial x^{a_1}_1...\partial x^{a_n}_n}$

,

где $a'=a_0+a_1+...+a_n$ , $a_i \ge 0$ , $i=1,...,N$

Формулировка

Если все функции $\phi^k_i(x)$ аналитичны в окрестности точки $x^0=(x_1^0,...,x_n^0)$, а функции $F_i$ определены и аналитичны в окрестности точки $(t^0,x_1^0,...,x_n^0,\phi^k_i(x^0),...,D^{a'}\phi^k_i(x^0),...)$ , то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки $(t^0,x_1^0,...,x_n^0)$, единственное в классе аналитических функций.

Доказательство

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Смотрите также

• Ковалевская, Софья Васильевна
• Дифференциальное уравнение в частных производных

Литература

• Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — Москва: «Наука», 1981. — С. 78-79. — 512 с.