Обобщенный метод моментов

Обобщенный метод моментов (ОММ, GMM - Generalized Method of Moments) - метод, применяемый в математической статистике и эконометрике для оценки неизвестных параметров распределений и эконометрических моделей, являющийся обобщением классического метода моментов. Метод был предложен Хансеном в 1982 году. В отличие от классического метода моментов количество ограничений может быть больше количества оцениваемых параметров.

Сущность метода

Пусть распределение случайного вектора x зависит от некоторого вектора неизвестных параметров b (количество параметров - k). Пусть также имеются некоторые функции g(x,b) (их количество q не меньше числа оцениваемых параметров), называемые моментными функциями (или просто моментами), для которых из теоретических соображений предполагается, что

$m(b)=E[g(x,b)]=0$

Базовая идея метода моментов заключается в использовании в моментных условиях вместо математических ожиданий их выборочные аналоги - выборочные средние

$\hat{m}(b)=\overline {g(x,b)}$

которые согласно закону больших чисел при достаточно слабых условиях должны асимтотически сходится к математическим ожиданиям. Поскольку количество условий на моменты в общем случае больше количества оцениваемых параметров, то однозначного решения эта система ограничений не имеет.

Обобщенным методом моментов (ОММ, GMM - Generalized Method of Moments) называется оценка минимизирующая положительно определенную квадратичную форму от выборочных условий на моменты, в которых вместо математических ожиданий используются выборочные средние:

$\hat {b}_{GMM}=\arg \min_{b}\hat{m}(b)^TW\hat{m}(b)$

где W - некоторая симметрическая положительно определенная матрица.

Весовая матрица может быть произвольной (с учетом положительной определенности), однако, доказано, что наиболее эффективными являются GMM-оценки с весовой матрицей, равной обратной ковариацинной матрице моментных функций $W=V^{-1}_g$. Это так называемый эффективный GMM.

Однако, поскольку на практике эта ковариационная матрица неизвестна, то применяют двухшаговую процедуру (двухшаговый GMM - Хансен, 1982 г.):

Шаг 1. Оцениваются параметры модели с помощью GMM с единичной весовой матрицей

Шаг 2. По выборочным данным и найденным на первом шаге значениям параметров оценивают коварицаонную матрицу моментных функций $\hat{V}_g=\overline {g(x,\hat{b})g(x,\hat{b})^T}$ и используют полученную оценку в эффетивном GMM.

Эту двухшаговую процедуру можно продолжить (итеративный GMM): используя оценки параметров модели на втором шаге ковариационная матрица моментов оценивается снова и повторно применяется эффективный GMM и т.д. итеративно до достижения требуемой точности.

Также возможен подход к численной минимизации целевой функции $\hat {m}^T(b)\hat{V}^{-1}_g(b)\hat {m}(b)$ по неизвестным параметрам $b$. Тем самым одновременно оцениваются и параметры и ковариационная матрица. Это так называемый непрерывно обновляемый (Continuously Updated) GMM (Хансен, Хитон, Ярон, 1996 год).

Свойства метода

Оценки обобщенного метода моментов при достаточно слабых условиях являются состоятельными, асимптотически нормальными, а оценки эффективного GMM являются также асимптотически эффективными. Можно показать, что

$\sqrt{n}(\hat b_{GMM} - b) \xrightarrow{d} N(0, V_{b})$

В общем случае

$V_{b}=(G^TWG)^{-1}G^TW V_g WG(G^TWG)^{-1}$

где G-математическое ожидание матрицы первых производных g по параметрам. В случае эффективного GMM формула ковариационной матрицы существенно упрощается:

$V_b=G^TV^{-1}_gG$

J-тест

При использовании GMM важным тестом является тест на сверхидентифицирующие ограничения (J-тест). Нулевая гипотеза заключается в том, что условия (ограничения) на моменты имеют место (то есть предположения модели верны). Альтернативная - что они неверны.

Статистика теста равна значению целевой функции GMM, умноженному на количество наблюдений. При нулевой гипотезе

$J=n \hat {m}^T(\hat{b})\hat{V}^{-1}_g\hat {m}(\hat{b}) ~\xrightarrow {d}~\chi^2(q-k)$

Таким образом, если значения статистики больше критического значения распределения $\chi^2(q-k)$ при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются (модель неадекватна), в противном случае модель признается адекватной.

См. также

• Метод моментов
• Метод наименьших квадратов
• Метод инструментальных переменных
• Метод максимального правдоподобия

Литература

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0