Закон необходимого разнообразия

Закон необходимого разнообразия (The Law of Requisite Variety) — кибернетический закон, сформулированный Уильямом Россом Эшби и формально доказанный в работе «Введение в кибернетику».

Пусть заданы $x$ — элементы множества состояний управляемой системы $X$ и $u$ — управления из множества управлений $U$. Управление переводит состояние $x$ в состояние $y$, то есть

$u \colon x \to y \in Y \subseteq X$.

Пусть также заданы вероятности реализации $x$, $y$ и $u$ на соответствующих множествах. Тогда система $X$ будет неуправляемой, если

$H(y) \geqslant H(x)$,

где $H()$ — энтропия соответствующей случайной величины. Это определение опирается на второй закон термодинамики, утверждая, что при отсутствии управления энтропия системы не уменьшается.

Поскольку из определения вытекает, что целью управления является снижение энтропии системы, то есть $H(y)<H(x)$, то З. н. р. утверждает, что

$H(y) \geqslant H(x) - I(u,x)$

где $I(u,x)= H(u)-H(u|x)$ — количество информации в $u$ об $x$, а $H(u|x)$ — условная энтропия.

Словесно это можно записать так:

разнообразие (энтропию) системы можно понизить не более чем на величину количества информации в управляющей системе об управляемой, которое равно разнообразию (энтропии) управления за вычетом потери информации от неоднозначного управления.

Смысл З.н.р

Эшби рассматривал энтропию как характеристику разнообразия системы, поскольку она определяется вероятностями реализации состояний и достигает своего максимума на равномерном распределении (максимальное разнообразие — это когда любое состояние может реализоваться с равной вероятностью), а минимума — когда какое-то одно состояние реализуется с вероятностью, равной 1. Тогда управление заключается в таком преобразовании множества состояний, в результате которого вероятности одних состояний (нежелательных) управляемой системы уменьшаются, а вероятности других (желательных) увеличиваются, что и обеспечивает понижение энтропии. Согласно З. н. р. достичь этого можно только за счёт увеличения разнообразия управляющей системы.

В интерпретации своего закона Эшби делал основной упор на то, что «сила» управления определяется только величиной $H(u)$, полагая, что в результате обучения управляющей системы

$H(u|x) \to 0$.

Действительно, поскольку

$0 \leqslant H(u|x) \leqslant H(u)$

(см. Количество информации), то $H(u|x)=0$ достигается при однозначном управлении (к каждому состоянию $x$ применяется своё единственное управление $u$, при этом к разным состояниям может применяться одно и то же управление, то есть взаимной однозначности не требуется). Это превратило З. н. р. в довольно тривиальный принцип, что сложность (другой синоним термина «разнообразие») управления должна соответствовать сложности системы. Видимо, не разобравшись в формальных основаниях З. н. р., С.Бир предложил вовсе неверную формулировку, что сложность управления должна быть не меньше сложности системы (см. статью о Эшби). Формально это допускает, что $H(x) < I(u,x)$, чего не может быть из математических соображений. Сейчас эта ошибочная формулировка самая распространённая в интернете и в среде специалистов, не знакомых с оригинальными работами Эшби.

З.н.р. и потеря управления

Эшби полагал, что потеря управления может происходить только из-за низкого разнообразия (низкой интенсивности) управления $H(u)$. Однако можно показать, что потеря управления может происходить при сколь угодно высоком $H(u)$ из-за увеличения $H(u|x)$. Это возникает, когда $u$ и $x$ «ведут себя» как независимые случайные величины, то есть происходит потеря однозначности управления. Можно показать, что это типично для растущих систем.

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать статью. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.