Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского Если $f(x)~$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен $f(x)/d~$ принимает бесконечно много простых значений.

Если $f(x)=kx+b~$ — линейная функция, то наибольший общий делитель ее значений равен $\text{НОД}(k,b)~$. И тогда по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии линейная функция $f_1(x)=\frac{kx+b}{d}~$ принимает бесконечное множество простых значений (видно, что $f_1(x)~$ целозначна). То есть гипотеза сформулирована корректно.

4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при $f(x)=x^2+1~$.

В статье Bateman, Horn^[1] приведена общая эвристическая формула, из которой следует, что плотность простых значений неприводимого многочлена $f(x)~$, удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

$\sum\limits_{1 \leqslant n \leqslant N} [f(n) \ is \ prime] \sim \frac{C(f)}{\deg f} \int\limits_{2}^{N} \frac{dt}{\ln t},~$

где константа $C(f) = \prod\limits_{p\ is \ prime} \frac{1-\frac{\omega (p)}{p}}{1-\frac{1}{p}}~$, а $\omega (p) = N(f(x) \equiv 0 \pmod p)~$ — число решений сравнения $f(x) \equiv 0 \pmod p ~$ в поле $\mathbb{Z}_p$.

Пример

Покажем, как, например, можно посчитать $C(f)~$ при $f(x)=x^2+1~$. Тогда $\omega (2)=1~$, при $p \equiv -1 \pmod 4~$ будет $\omega (p)=0~$, а при $p \equiv 1 \pmod 4~$ будет $\omega (p)=2~$. Остается только численно вычислить произведение.

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
• Открытые проблемы в теории чисел

Литература

• Bateman Horn A Heuristic asymptotic formula concerning a distribution of prime numbers Urbana Illinois
• Серпинский Что мы знаем и чего не знаем о простых числах ФизМатЛит, М.,Ленинград, 1963.

Примечания

1. ↑ Heuristic asymptotic formula concerning a distribution of prime numbers

Ссылки

• Шаблон:Springer
• Ed Pegg, Jr. Bouniakowsky conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05), "Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p", arΧiv:math/9808021 [math.NT] 

• Bouniakowsky, V. (1857). «Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs». Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg 6: 305–329.