Быстрый обратный квадратный корень

Вычисление освещения и отражения (показано на примере шутера от первого лица OpenArena) использует в коде быстрый инверсный квадратный корень для вычисления углов падения и отражения.

Быстрый обратный квадратный корень (иногда называемый Быстрый InvSqrt() или по шестнадцатеричной константе 0x5f3759df) — это метод вычисления обратного квадратного корня $\frac{1}{\sqrt{x}}$ для 32-битных чисел с плавающей запятой. Алгоритм был, вероятно, разработан в Silicon Graphics в 1990-х, а реализация появилась в 1999 году в исходном коде компьютерной игры Quake III Arena, но данный метод не появлялся на общедоступных форумах, таких как Usenet, до 2002—2003–х годов. Алгоритм генерирует достаточно точные результаты, используя уникальное первое приближение метода Ньютона. В то время основным преимуществом алгоритма был отказ от дорогих вычислительных операций с плавающей запятой в пользу целочисленных операций. Обратные квадратные корни используются для расчета углов падения и отражения для освещения и затенения в компьютерной графике.

Алгоритм принимает 32-битное беззнаковое число с плавающей запятой (unsigned float) в качестве исходных данных, сохраняет 1/2 числа для дальнейшего использования, после чего преобразует биты, представляющее оригинальное число с плавающей запятой в целое. Далее производится логическое смещение вправо на один бит и результат вычитается из «магической» константы 0x5f3759df. Это первое приближение обратного квадратного корня исходного числа. После производится обратное преобразование результата в число с плавающей запятой и вычисляется одна итерация метода Ньютона для получения более точного приближения. Алгоритм позволяет вычислять приблизительное значение обратного квадратного корня в среднем в 4 раза быстрее, чем деление чисел с плавающей запятой.

Алгоритм изначально приписывался Джону Кармаку, но изучение вопроса показало, что код имел более глубокие корни как в аппаратной, так и в программной сферах компьютерной графики. Исправления и изменения производились как Silicon Graphics так и 3dfx Interactive, при этом как самое раннее использование известна реализация Гэри Таролли для SGI Indigo. Неизвестно, как выводилась эта константа изначально, однако расследование проливает свет на возможные методы.

С выходом в свет в 1998 году набора инструкций 3DNow! в процессорах фирмы AMD появилась ассемблерная инструкция PFRSQRT для быстрого приближенного вычисления инверсного квадратного корня.

Мотивация

Поверхность нормалей широко используются в расчетах освещения и затенения, требующих расчета норм для векторов. Здесь показано поле векторов нормали к поверхности.

Инверсный квадратный корень числа с плавающей запятой используется для вычисления нормализованного вектора. Так как программа с 3D графикой использует эти нормализованные векторы для определения освещения и отражения, миллионы этих вычислений должны выполняться за секунду. До того как было создано специальное аппаратное обеспечение для обработки трансформаций и освещения, программное обеспечение вычислений могло быть медленным. В частности, в начале 1990-х, когда код был разработан, большинство вычислений с плавающей запятой отставало по производительности от операций с целыми числами.

Чтобы нормализовать вектор, его длина определяется путем вычисления его нормы: квадратный корень суммы квадратов компонент вектора. Когда каждый компонент вектора делится на его длину, новый вектор, называемый единичным направлен в том же направлении.

$\|\boldsymbol{v}\| = \sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$ — это евклидова норма вектора, аналог Евклидовой дистанции между двумя точками в пространстве.

$\boldsymbol{\hat{v}} = \boldsymbol{v} / \|\boldsymbol{v}\|$ — это нормализованный единичный вектор. Вычисленное ${v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2$ обозначим как $\boldsymbol{x}$,

$\boldsymbol{\hat{v}} = \boldsymbol{v} / \sqrt{x}$, определяет соотношение единичного вектора и обратного квадратного корня от $x$.

Quake III Arena использует алгоритм быстрого обратного квадратного корня для ускорения обработки графики вычислительными блоками, но с тех пор алгоритм уже был реализован в некоторых специализированных аппаратных вершинных шейдерах, используя специальные программируемые матрицы (FPGA).

Ссылки

• Magical Square Root Implementation In Quake III

Это заготовка статьи о компьютерах. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. Это примечание по возможности следует заменить более точным.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011.