Бесконечная группа

Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов. Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: $g(x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$, где $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если $g(x)g(y)=g(z)$, то n параметров $z_1, z_2, z_3, ..., z_n$ являются функциями от параметров $x_1, x_2, x_3, ..., x_n, y_1, y_2, y_3, ..., y_n,$. Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных $z=f(x,y)$. Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе:

1. Произведение $g(x)g(y)$ любых двух элементов группы должно быть элементом группы.
2. Умножение элементов ассоциативно: $[g(x)g(y)]g(z)=g(x)[g(y)g(z)]$.
3. Имеется единичный элемент группы g(1), так что для всех g(x) выполняется $g(1)g(x)=g(x)g(1)=g(1)$
4. Каждый элемент имеет единственный обратный, те для каждого g(x) имеется единственный элемент группы $g(x_{-1})$, такой что $g(x)g(x_{-1})=g(x_{-1})g(x)=g(1)$.

Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство $f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))$ выполняется для всех x, y, z.

Примеры бесконечных групп

• Группа Ли. Элементы группы Ли представлены непрерывными и обладающими производными всех порядков функциями $f(x,y)$, удовлетворяющими обычным условиям принадлежности к группе.
• Специальная унитарная группа $SU(n)$. Группа $SU(n)$ имеет $n^2-1$ параметр.
• Группа всех вещественных ортогональных матриц $O(n)$. Группа $O(n)$ имеет $\frac {1}{2} n(n-1)$ параметров.

См. также

• Конечная группа
• Группа Ли
• Специальная унитарная группа
• Ортогональная матрица

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. — Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.