G-функция Барнса

G-функция Барнса (обычно обозначаемая G(z)) — функция, которая расширяет понятие cуперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. G-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса^[1].

Формально G-функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как

$G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right]$

где γ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Дифференциальные уравнения, функциональные уравнения и частные значения

G-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

$G(z+1)=\Gamma(z)G(z)$

если принять, что G(1)=1. В дифференицальном уравнении подразумевается, что G принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

$G(n)=\begin{cases} 0&\mbox{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\mbox{if }n=1,2,\dots\end{cases}$

таким образом

$G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}$

где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет G-функцию, если добавлено условие выпуклости: $\frac{d^3}{dx^3}G(x)\geq 0$^[2].

Дифференциальное уравнение для G-функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для G-функции, доказанным Германом Кинкелиным:

$G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx.$

Формула умножения

Схожая с Гамма-функцией, G-функция также имеет формулу умножения^[3]:

$G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right)$

где

$K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\, (Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.$

Здесь $\zeta^\prime$ — это дзета-функция Римана и $A$ — это постоянная Глейшера—Кинкелина.

Примечания

1. ↑ E.W. Barnes, «The theory of the G-function», Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264—314.
2. ↑ M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL$(2,\mathbb{Z})$, Astérisque 61, 235—249 (1979).
3. ↑ I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493—507 (1988).