W-функция Ламберта

$W$-функция Ламберта определяется как обратная функция к $f(w)=w e^w$, для комплексных $w$. Обозначается $W(x)$ или $\operatorname{LambertW}(x)$. Для любого комплексного $z$ она определяется функциональным уравнением:

$z=W(z) e^{W(z)}$

$W$-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера в 1779, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»^[1].

Многозначность

Эта статья или раздел описывает ситуацию применительно лишь к частным случаям ($W_0(x)$). Необходимо переработать изложение или добавить информацию, чтобы статья описывала более общий случай.

График W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Поскольку функция $f(w)$ не является инъективной на интервале $(-\infty,0)$, $W(z)$ является многозначной функцией на $[-\frac{1}{e},0)$. Если ограничиться вещественными $z = x\geqslant-1/e$ и потребовать $w\geqslant -1$, будет определена однозначная функция $W_0(x)$.

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.

$\left.W(z)\right|_{z \to \infty} = \log(z)-\log( \log(z) )$

$\left.W(z)\right|_{z \to -\frac{1}{e}} = \sqrt{ 2 ( ez + 1 ) }-1$

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при $z\ne -1/e$ функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

${dW\over dz} = \frac{1}{z} \frac{W(z)}{W(z)+1}$

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при $|z|<1/e$:

$W_0(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

$\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C$

Значение в некоторых точках

$W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}$

$W\left(-{1\over e}\right) = -1$

$W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2$

$W(0) = 0\,$

$W(e) = 1\,$

$W(1) = \Omega \approx 0{,}56714329\,$ (постоянная Омега)

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример: $x^x=z$

$\ln z=x\ln x=e^{\ln x}\,\ln x$, следовательно, $x=e^{W(\ln z)}$.

Пример: $2^x=5 x$

$1 = 5 x\cdot 2^{-x} = 5 x\, e^{-x\ln 2}$

Обозначим $y=-x\ln 2$, тогда $y\,e^y={-\ln 2\over 5}$, отсюда $y=W\left({-\ln 2\over 5}\right)$ и окончательно $x=-{1\over\ln2}W\left({-\ln 2\over 5}\right)$.

Обобщенные применения W-Функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:

$e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$

где a₀, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является $x = r + \frac{1}{c} W( \frac{c\,e^{-c r}}{a_o })$. Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции^[2] Ламберта:

• Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале “Classical and Quantum Gravity”^[3] была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:

$e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)$

и где константы r₁ и r₂, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а r_i и a_o являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию “Meijer G", оно принадлежит к другому типу функций. Когда r₁ = r₂, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.

• Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулы водорода^[4]. В этом случае, правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:

$e^{-c x} = a_o \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{\displaystyle \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)$

где r_i и s_i константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики^[5].

Вычисление

$W$-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения^[1]:

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}}$

Пример программы на языке Python:

import math
 
def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in xrange(100):
        wTimesExpW = w*math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
        if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
            break
    if (prec <= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)):
        raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу^[6]: !!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10% отличается от функции Ламберта

$W(x) \approx \left\{ \begin{matrix} 0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0{,}04 & \ :\ & 0<x\le500 \\ \ln(x-4) - (1-{1\over\ln x}) \ln\ln x & \ :\ & x>500 \\ \end{matrix} \right.$

Ссылки

1. ↑ ^{1 2} Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PostScript)
2. ↑ T.C. Scott and R.B. Mann (April 2006). General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), 17: no. 1,  41–47, [1]; Arxiv article [2]
3. ↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott (2007). N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. 24: 4647–4659, [3]; Arxiv article [4]
4. ↑ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst (2006). New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. 324: 323–338, [5]; Arxiv article [6]
5. ↑ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III (2007). The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75: 060101, [7]
6. ↑ Double precision function LAMBERTW(X) в пакете QCDINS