Функция Вейерштрасса

График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.

Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением:

$w(x)= \sum_{n=0} ^\infty b^n \cos(a^n \pi x)$,

где $a$ — произвольное нечетное число, а $b$ — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

$\sum_{n=0} ^\infty b^n$,

поэтому функция $w$ определена и непрерывна при всех вещественных $x$. Тем не менее эта функция не имеет производной по крайней мере при

$ab>\frac{3}{2}\pi +1$.

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке $x_0$, строят две последовательности $\{x_m'\}$ и $\{ x_m''\}$, сходящиеся к точке $x_0$, и доказывают, что отношения

$\frac{f(x_m')-f(x_0)}{x_m'-x_0}$ и $\frac{f(x_m'')-f(x_0)}{x_m''-x_0}$

имеют разные знаки по крайней мере при

$ab>\frac{3}{2}\pi +1$ и $a>1$.

Для построения указанных последовательностей предварительно определяют такие целые числа $a_m$, чтобы разность

$a^m x_0 -a_m=x_{m+1}$

лежала между $-\tfrac{1}{2}$ и $\tfrac{1}{2}$, а затем полагают

$x_m'=\frac{a_m-1}{a^m}$ и $x_m''=\frac{a_m+1}{a^m}$.

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

$ab\geq 1$ и $a>1$

было установлено Харди.^[1]

Историческая справка

В 1806 году Ампер^[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималось за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега^[3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привел своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию

$r(x)=\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n^2 x}{n^2}$;

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно, в 1970 году Дж. Джевер доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках. В 1872 году Вейерштрасс указал более простой контрпример — введенную выше функцию $w$ и представил строгое доказательство ее недифференцируемости.^[4] В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе Дюбуа-Реймона^[5]. Еще более простой пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

$v(x)=\sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\{10^n x\}}{10^n}$,

где фигурные скобки означают взятие дробной части. ^[6]

Примечания

1. ↑ Hardy G. H. Weierstrass's nondifferentiable function // Trans - Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301–325. Впрочем и Вейерштрасс упоминал это утверждение в письме к Дюбуа-Реймону в 1873 году, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
2. ↑ Ampère, A.M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
3. ↑ Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 13.
4. ↑ Доклад Вейерштрасса, прочитанный в Прусской академии наук 18 июля 1872 года, опубликован в собрании сочинений (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
5. ↑ Du Bois-Reymond R. // J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Вейерштрасс был редактором этого журнала и сообщил о своем контрпримере в письме к Дюбуа-Реймону 23 ноября 1873 года, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
6. ↑ Van der Waerden B.L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474—475.

Литература

• Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
• Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
• Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.