Фундаментальная матрица

Фундамента́льная ма́трица $\ F(t)$ − матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений некоторой системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная матрица $\ F(t_0)$, нормальная в точке $t_0$, выделяется из множества фундаментальных матриц условием $\ F(t_0) = E$, где $E$ — единичная матрица. Фундаментальная матрица с переставленными столбцами, очевидно сохраняет свойство фундаментальности и нормальности в $t_0$.

Критерий фундаментальности

Наряду с линейной системой дифференциальных уравнений рассмотрим соответствующее матричное уравнение $x' = A(t)x$, в котором неизвестная функция $x = x(t)$ принимает значения в пространстве $M_n$ всех квадратных $(n*n)$ — матриц с элементами из $K$.

Докажем, что для того чтобы заданная матрица-функция $F: J \Rightarrow Mn$ была фундаментальной матрицей линейной системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно, чтобы она была решением матричного уравнения ($x' = A(t)x$) и имела в некоторой точке $t_0$ ненулевой определитель. В этом случае он будет отличен от нуля в любой точке $t \in J$ . Фундаментальная матрица является нормальной в точке $t_0$, если и только если она удовлетворяет матричному начальному условию $\ F(t_0) = E$.

Доказательство. Заметим, что матричная функция $x = F(t)$ будет решением матричного уравнения в том и только том случае, когда любой её столбец φk является решением линейной однородной системы. Действительно, равенство $k$-х столбцов в матричное уравнение имеет вид $\varphi'_k(t)= A(t)\varphi_k(t)$, что совпадает с линейной однородной системой. Теперь сформулированный критерий вытекает непосредственно из определений и теоремы о структуре множества решений линейной однородной системы, поскольку линейная независимость столбцов определителя эквивалентна, как устанавливалось в курсе алгебры, отличию этого определителя от нуля.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Викифицировать статью. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.