Уравнение Лондонов

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 г. братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами (англ.)^[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках.

Уравнение Лондона

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном^[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввел дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например путем минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля^[3] или в предположении абсолютной жесткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

$\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J} + \mathbf{B} = 0$

где $\mathbf{J}$ — плотность тока, $\mathbf{B}$ — магнитная индукция, $\lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi n q^2}$, m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Лондоновская глубина проникновения

При помощи уравнения Максвелла $\operatorname{rot} \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{J}}{c}$ можно записать уравнение Лондона в виде

$\mathbf{B} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{B} = 0$

или

$\mathbf{B} - \lambda^2 \Delta \mathbf{B} = 0$.

Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими $\lambda$ , есть $\mathbf{B} (\xi) = \mathbf{B}(0)\exp \frac{-\xi}{\lambda}$, где $\mathbf{B}(\xi)$ — индукция на глубине $\xi$ под поверхностью. Параметр $\lambda$ имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину $\lambda$. Для металлов $\lambda \sim 10^{-2} \,$ мкм.

Природа сверхпроводимости

Уравнение Лондона дает нам ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал $\mathbf{A}$, где $\operatorname{rot} \mathbf{A}=\mathbf{B}$, используя калибровку $\operatorname{div} \mathbf{A} = 0$ и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме

$\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{J} + \mathbf{A} = 0$

В присутствии векторного потенциала обобщенный импульс заряженной частицы дается выражением $\mathbf{P} = \sum {\mathbf{p}} = 2 \sum{(m \mathbf{v} + \frac{q \mathbf{A}}{c})}$.

Средний импульс на одну частицу можно записать в виде

$\mathbf{\overline{p}} = \frac{q}{c} (\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{J} + \mathbf{A}) = 0$

Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом $\mathbf{P} = 0$. При этом из принципа неопределенности вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.

Примечания

1. ↑ London, F.; H. London (March 1935). «The Electromagnetic Equations of the Supraconductor». Proc. Roy. Soc. (London) A149 (866): 71.
2. ↑ F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
3. ↑ P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York,. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).