Теорема Эйлера (планиметрия)

В планиметрии, теорема Эйлера, названная в честь Леонарда Эйлера, утверждает, что расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

$d^2=R (R-2r) \,$

где R и r — радиусы, соответственно, описанной и вписанной окружностей.

Из этой теоремы следует неравенство Эйлера:

$R \ge 2r.$

Доказательство

Рисунок к доказательству теоремы. Выполнен в программе GeoGebra.

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, а I – центр вписанной окружности. Если луч AI пересекает описанную окружность в точке L, то L является средней точкой дуги BC. Проведём отрезок LO и продолжим его до тех пор, пока он не пересечёт описанную окружность в точке M. Из точки I опустим перпендикуляр на AB, и пусть D будет основанием перпендикуляра. Тогда ID = r. Нетрудно доказать, что треугольник ADI подобен треугольнику MBL, и тогда ID / BL = AI / ML, то есть ID × ML = AI × BL. Поэтому 2Rr = AI × BL. Проведя отрезок BI, заметим, что

угол BIL = угол A / 2 + угол ABC / 2,

угол IBL = угол ABC / 2 + угол CBL = угол ABC / 2 + угол A / 2,

поэтому угол BIL = угол IBL, и тогда BL = IL, и AI × IL = 2Rr. Продолжим отрезок OI до тех пор, пока он не пересечёт описанную окружность в точках P и Q, и тогда PI × QI = AI × IL = 2Rr, таким образом (R + d)(R − d) = 2Rr, то есть d² = R(R − 2r).