Последняя теорема Пуанкаре

Последняя теорема Пуанкаре — геометрическое утверждение, опубликованное Анри Пуанкаре (без доказательства) незадолго до смерти (1912). Полное доказательство дал спустя полгода Джордж Дэвид Биркхоф.

Формулировка

Пусть K — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами $r=a$ и $r=b$. Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

$r'=\varphi(r, \theta); \theta'=\psi(r, \theta)$,

удовлетворяющее следующим условиям:

1. отображение сохраняет площадь;
2. каждая граничная окружность переходит в себя: $~\varphi(a,\theta)=a$, $\varphi(b,\theta)=b$;
3. точки с $r=a$ передвигаются против часовой стрелки, а точки с $r=b$ — по часовой стрелке, то есть $~\psi(a, \theta) > \theta$ и $~\psi(b, \theta) < \theta$.

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации

Вместо сохранения площади можно выдвинуть более слабое требование: чтобы никакая подобласть кольца не преобразовывалась в свою (собственную) часть.

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 4. — С. 751.

Ссылки

• M. Brown, W. D. Neumann. Доказательство теоремы. Michigan Math. J. 24 (1977) 21-31.  (англ.)