Поличисла

В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи.

Поличисла (n-числа)

Алгебра поличисел $~P_n$ реализуется элементами $A \in P_n$ вида:

$A=A_1 e_1 + \dots + A_n e_n,$

где $A_i \in P_n, \quad {e_i}$ – набор образующих $~P_n$, подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

$e_i e_j = 0 \quad (i \neq j), \quad e_i^2=1.$

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все $A_i \neq 0$ (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

$I=e_1+ \dots +e_n$.

На алгебре $~P_n$ существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

$A^{(1)}=A^{\ast}=A_ne_1+A_1e_2+ \dots +A_{n-1}e_n$,

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла $~A$. k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:

$A^{(k)}= A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast } \quad$ ($k$ - раз )

Очевидно, что $~A^{(n)}=A$.

Рассмотрим поличисло вида

$N(A)=A A^{(1)} A^{(2)} \dots A^{(n-1)},$ (1)

где $A \in P_n$.

Нетрудно проверить, что $~N(A)$ вещественно в том смысле, что

$~N(A)=r^nI,$ где $r^n \in R$.

Число $~r$ называется (квази)нормой поличисла $~A$. Квазинорма $~r$ выражается через координаты поличисла $~A$ по формуле :

$r ^ n=A_1 A_2 \dots A_n = G (A,A, \dots ,A)$,       (2)

где $~G$ – n-форма

$G= \hat{S} \left(dx^1 \otimes \cdots \otimes dx^n\right)$,             (3)

$\hat{S}$ – оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда-Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда-Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой $~N(A)$, являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы $~|z|^2=zz^{\ast}$ на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

$~( \zeta, \xi)=Re( \zeta \xi)$,

где $\zeta , \xi \in C$, можно рассмотреть n-линейную форму

$(A,B,\dots,Z)=\text{Re}(AB\dots Z)=\sum\limits_{\sigma(A,B,\dots,Z)} AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}= n! G(A,B,{\dots},Z).\quad$      (4)     

Здесь суммирование производится по множеству $\sigma(A,B,{\dots},Z)$ всех перестановок элементов $A,B,{\dots},Z\in P_{n}$. Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда-Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел $~P_n$ является прямой суммой $~n$ экземпляров алгебры вещественных чисел $~R$. Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит n гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра $~P_{n,m},$ представляющая собой прямую сумму $~n$ экземпляров алгебры вещественных чисел $~R$ и $~m$ экземпляров алгебры комплексных чисел $~C$ ^[1].

Примечания

1. ↑ Г.И. Гарасько, Начала финслеровой геометрии для физиков, М.: Тетру, 2009.

Литература

<1> И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973

<2> М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.

<3> Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.

<4> С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ "Логос", вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121