Область значений функции

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

Определение

Пусть задана функция $~f$, которая отображает множество $~X$ в $~Y$, то есть: $f: X \to Y$; тогда

• областью значений функции называется подмножество множества $~Y$ вида

$f(X)=\{y\in Y|\, y=f(x),\,x\in X\}$

• и обозначается $R(f)$, $E(f)$, $\mathrm{cod}\,f$ (от англ. codomain «со-область») или $\mathrm{ran}\,f$ (от фр. range «со-область»).

Примеры

Числовые функции

Характеристическая функция множества

Пусть $A\subset X$. Определим функцию $\chi_A\colon X\to\{0,1\}$, которая

• принимает значение $1$, если $x\in A$,
• и принимает значение 0, в противном случае.

Такая функция называется характеристической функцией множества $A$.

Поскольку каждому множеству сопоставляется своя характеристическая функция, а любая функция типа $\chi_A\colon X\to\{0,1\}$ определяет некоторое подмножество множества $X$, то существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех подмножеств множества $X$ вида

$\mathfrak{B}(X)=\{A\colon A\subset X\}$

и множеством всех отображений множества $X$ в двухэлементное множество $2=\{0,1\}$, которое обозначается как $2^{X}$ и нередко называется булеаном множеств.

Важный случай характеристических функций возникает тогда, когда $X=\{1,2,\dots,n\}$ — конечное множество $(n\in\mathbb{N})$. Такие функции называются булевскими функциями.

См. также

• Область определения функции

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• ISBN 5-02-014844-X
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.