Неравенство Колмогорова

В теории вероятностей, неравенством Колмогорова называется так называемое «неравенство максимума», ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Неравенство названо в честь советского математика Андрея Колмогорова.

Формулировка неравенства

Пусть $X_1, \dots, X_n\ :\Omega\to R$ — независимые случайные величины, определённые на общем вероятностном пространстве $(\Omega,\ F,\ Pr)$, с математическим ожиданием $E[X_k]=0$ и дисперсиями $Var[X_k]<+\infty, \ \ \forall k=1, \dots, n$. Тогда, для каждого $\lambda>0$,

$\Pr \left(\max_{1\leq k\leq n} | S_k |\geq\lambda\right)\leq \frac{1}{\lambda^2} \operatorname{Var} [S_n] \equiv \frac{1}{\lambda^2}\sum_{k=1}^n \operatorname{Var}[X_k],$

гдe $S_k=X_1+\dots+X_k$.

См. также

• Неравенство Чебышева
• Неравенство Ландау-Колмогорова (англ.)

Литература

• Billingsley Patrick Probability and Measure. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. — ISBN 0-471-00710-2 (Theorem 22.4)
• Feller William An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1. — Third Edition. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968. — P. xviii+509. — ISBN 0-471-25708-7

Эта статья включает в себя материал из статьи Kolmogorov's inequality, размещённой на сайте PlanetMath, которая подпадает под действие лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License.