Многообразие Уайтхеда

Первые три полнотория в построении

Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным $\mathbb R^3$. Пример был найден Уайтхедом при попытке решить гипотезу Пуанкаре.

В размерностях 1 и 2, подобных примеров не существует.

Построение

В трёхмерной сфере выберем незаузленный полноторий $T_1$. Далее выверем второй полноторий $T_2$ в $T_1$ так, что $T_2$ трубчатая окрестность меридиана $T_1$ образуют утолщение зацепления Уайтхеда.

зацепление Уайтхеда

Отметим, что $T_2$ можно стянуть в дополнении меридиана $T_1$ и меридиан $T_1$ можно стянуть в дополнении $T_2$.

Далее вложим следующий полноторий $T_3$ в $T_2$ тем же способом как и $T_2$ в $T_1$ и продолжим это построение до бесконечности. Мы получим бесконечную последоватльность полноториев, каждое следующее из которых вложно в предыдущее.

$T_1\subset T_2\subset T_3\subset\dots$

Определим континуум Уайтхеда

$W=\bigcap_i T_i.$

Дополнение $W$ в в сфере есть многообразие Уайтхеда.

References

• Kirby, Robion The topology of 4-manifolds. — Lecture Notes in Mathematics, no. 1374, Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-51148-2