Метод трапеций

Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок $\left[ a, b \right]\,\!$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

$\int^b_a f(x)\,dx = \frac{ f(a) + f(b) }{2} (b - a) + E(f), \qquad E(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} \left( b-a \right)^3.$

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

$~\left| E(f) \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12} \max_{x \in [a, b]} \left| f''(x) \right|\,.$

Составная формула

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок $\left[ a, b \right]\,\!$ разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

$\int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} \frac{ f(x_i) + f(x_{i+1}) }{2} (x_{i+1} - x_{i}) =$

$= \frac{f(a)}{2} (x_1 - a) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \frac{ x_{i+1} - x_{i-1} } {2} + \frac{f(b)}{2} (b - x_{n-1}).$

Формула Котеса

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки

$\int^b_a f(x)\,dx = h \left( \frac{f_0 + f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i \right) + E_n(f),$

$E_n(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} (b - a) h^2.$

где $h\,\!$ — шаг сетки.

Замечательные свойства

Метод трапеций быстро сходится к точному значению интеграла для периодических функций, поскольку погрешность за период аннулируется. Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 9 октября 2011.