Матрицы Кравчука

Матрицы Кравчука — матрицы, элементами которых являются значения многочленов Кравчука в неотрицательных целых точках.^[1][2]

$K_{ij}^{(n)} = \Sigma_{k} (-1)^{k} \binom {j}{k} \binom {n-j}{i-k} \!\,$

Примеры нескольких первых матриц:

$K^{(0)}=\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \qquad K^{(1)}=\left [ \begin{array}{rr} 1&1\\ 1&-1 \end{array}\right ] \qquad K^{(2)}=\left [ \begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 2&0&-2\\ 1&-1&1 \end{array}\right ] \qquad K^{(3)}=\left [ \begin{array}{rrrr} 1&1&1&1\\ 3&1&-1&-3\\ 3&-1&-1&3\\ 1&-1&1&-1 \end{array}\right ]$

$K^{(4)}=\left [ \begin{array}{rrrrr} 1&1&1&1&1\\ 4&2&0&-2&-4\\ 6&0&-2&0&6\\ 4&-2&0&2&-4\\ 1&-1&1&-1&1 \end{array}\right ] \qquad K^{(5)}=\left [ \begin{array}{rrrrrr} 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 5& 3& 1&-1&-3&-5\\ 10& 2&-2&-2& 2& 10\\ 10& -2&-2& 2& 2&-10\\ 5& -3& 1& 1&-3&5\\ 1& -1& 1&-1& 1&-1 \end{array}\right ]$

$K^{(6)}=\left [ \begin{array}{rrrrrrr} 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1 \\ 6& 4& 2& 0&-2&-4& -6 \\ 15& 5&-1&-3&-1& 5& 15 \\ 20& 0&-4& 0& 4& 0&-20 \\ 15& -5&-1& 3&-1&-5& 15 \\ 6& -4& 2& 0&-2& 4& -6 \\ 1& -1& 1&-1& 1&-1& 1 \end{array}\right ].$

Примечания

1. ↑ N. Bose, “Digital Filters: Theory and Applications” [North-Holland Elsevier, N.Y., 1985] (англ.)
2. ↑ P. Feinsilver, J. Kocik: Krawtchouk polynomials and Krawtchouk matrices, Recent advances in applied probability, Springer-Verlag, October, 2004 (англ.)

Ссылки

• Полиномы Кравчука