Арифметический корень

Арифметический корень n-й степени (n > 0) из числа a — это такое число b, что bⁿ = a. В поле действительных чисел корень может иметь до двух решений или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. Обозначается символом $\sqrt[n]{\ }$.

Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем^[1] и может записываться без указания степени: $\sqrt{\ }$. Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем^[2].

Свойства

• $\sqrt[n]{0} = 0;$

• $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, \qquad a, \ b \ge 0;$

• $\sqrt [n] {a^n}=a; a \geqslant 0$
• $\forall a\geqslant 0,b>0 \qquad \sqrt [n] {\frac {a} {b}}=\frac {\sqrt [n] {a}} {\sqrt [n] {b}}$

• $\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m = a^{m/n}.$

• $\sqrt [nk] {a^{mk}}=\sqrt [n] {a^m}, \qquad a>0,n \in \mathbb N$

• $\forall a\geqslant 0,\qquad n,k \in \mathbb N \qquad \sqrt [n] {\sqrt [k] {a}}=\sqrt [nk] {a}$

Обобщения

Дробная степень числа (1+x), где |x|<1, может быть разложена в ряд Тейлора по формуле:

$(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{s/t}{n} x^n = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n (s+t-kt)}{n!\,t^n}\cdot x^{n}.$

Корень комплексного числа

Корни третьей и шестой степени из единицы (вершины треугольника и шестиугольника соответственно)

Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:

$z = |z| \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right)$.

Тогда

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right)$,

где k = 0, 1, ..., n-1. Корень степени n имеет n значений. Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова, а меняется лишь его аргумент, все n значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса $\sqrt[n]{|z|}$ c центром в начале координат.

См. также

• Алгоритм нахождения корня n-ной степени
• Квадратный корень
• Кубический корень

Примечания

1. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
2. ↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.