Механические приложения тройного интеграла

Механические приложения тройного интеграла

Пусть μ(x, y, z) — объемная непрерывная плотность тела V. Тогда:

• масса тела V

$m = \iiint\limits_{V} \mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• статические моменты относительно координатных плоскостей:

$M_{yz} = \iiint\limits_{V} x\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{xz} = \iiint\limits_{V} y\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $M_{xy} = \iiint\limits_{V} z\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• координаты центра масс тела:

$x_c = \frac{Myz}{m}$, $y_c = \frac{Mxz}{m}$, $z_c = \frac{Mxy}{m}$,

• моменты инерции тела:

• относительно координатных плоскостей

$I_{xy} = \iiint\limits_{V} z^2\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $I_{yz} = \iiint\limits_{V} x^2\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $I_{xz} = \iiint\limits_{V} y^2\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• относительно координатных осей

$I_{x} = \iiint\limits_{V} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $I_{y} = \iiint\limits_{V} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$, $I_{z} = \iiint\limits_{V} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

• относительно начала координат

$I_{0} = \iiint\limits_{V} (x^2 + y^2 + z^2)\mu(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$

См. также

• Механические приложения интегралов