Механические приложения криволинейных интегралов

Механические приложения криволинейных интегралов

• Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы $\mathbf{F} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y,z))$ вычисляется по формуле

$A = \int\limits_{l} P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz$

• Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z) выражается интегралом

$m = \int\limits_{l} \mu(x, y, z) \, ds$

• Координаты (x_c, y_c, z_c) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:

$x_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} x\mu(x, y, z) \, ds$, $y_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} y\mu(x, y, z) \, ds$, $z_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} z\mu(x, y, z) \, ds$,

где m — масса кривой l

• Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:

$I_x = \int\limits_{l} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds$, $I_y = \int\limits_{l} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds$, $I_z = \int\limits_{l} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z) \, ds$,

• Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть

$\mathbf{F} = \gamma m_0 \int\limits_{l} \frac{\mu(x, y, z)}{r^3} \, ds$,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m0 — масса точкеи с координатами (x₀, y₀, z₀); γ — постоянная тяготения

$\mathbf{r} = (x - x_0)\mathbf{i} + (y - y_0)\mathbf{j} + (z - z_0)\mathbf{k}, \quad \boldsymbol{r} = \left| \mathbf{r} \right|$

См. также

• Механические приложения интегралов