Представление алгебры Ли

У этого термина существуют и другие значения, см. Представление.

Представлением алгебры Ли (точнее, линейным представлением алгебры Ли) называется гомоморфизм из алгебры Ли $L$ в полную линейную алгебру преобразований некоторого векторного пространства $V$

$\varphi\colon L\to \mathfrak{gl}(V)$.

Под гомоморфизмом алгебр Ли подразумевается такое отображение, что $\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$ для любых $x,y\in L$. При этом алгебра Ли $L$ и векторное пространство $V$ должны быть над одним и тем же полем $K$.

Примеры представлений алгебр Ли

Важным примером представления является присоединённое представление алгебры Ли $\mathrm{ad}\colon L\to\mathfrak{gl}(L)$. Это представление сопоставляет элементу $x\in L$ оператор $\mathrm{ad}\;x$, действующий на элементы из $L$ по правилу $\mathrm{ad}\;x(y)=[x,y]$.

См. также

Представление группы

Литература

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003