- Нелинейное уравнение Шрёдингера
-
Не следует путать с Уравнение Гросса — Питаевского.
Нелине́йное или куби́ческое уравне́ние Шрёдингера (НУШ, англ. Nonlinear Schrödinger equation (NLS)) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы.
Классическое полевое уравнение (в безразмерной форме) имеет вид:[1]
Содержание
Значение в физике
Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает огибающую волнового пакета в среде с дисперсией и кубической нелинейностью. Подобная ситуация встречается, например, при распространении электромагнитных волн в плазме: с одной стороны плазма является диспергирующей средой, с другой стороны, при достаточно высоких амплитудах волны проявляется пондеромоторная нелинейность, которая в некоторых случаях может быть аппроксимирована кубическим членом. Другим примером является распространение света в нелинейных кристаллах с дисперсией: во многих случаях квадратичная нелинейность мала или тождественно равна нуля в силу центральной симметрии кристаллической решётки, поэтому учитывается только кубический член.
Решения
Для нелинейного уравнения Шрёдингера найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В частности, решениями являются функции вида
где r, s, U — постоянные, связанные соотношениями:
а функция v(q) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида
Периодические решения имеют форму кноидальных волн. Кроме того, имеется локализованное решения солитонного типа:
Таким образом, параметр определяет амплитуду волн, а параметр U — их скорость. Интересно, что солитонные решения для нелинейного уравнения качественно совпадает с солитонными решения для другого важного нелинейного уравнения — уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), однако отличается, во-первых, тем, что амплитуда и скорость солитонов в НУШ независимы, а в КдФ связаны между собой, а во-вторых, тем, что в НУШ локализованные решения — это солитоны огибающих, а в КдФ — истинные солитоны.
Солитонные решения обладают особым значением, поскольку при стационарные решения нелинейного уравнения Шрёдингера неустойчивы и распадаются на множество солитонов. При заданном произвольном начальном распределении функции решение может быть найдено методом обратной задачи рассеяния.
Интегралы
Нелинейное уравнение Шрёдингера вполне интегрируемо и обладает неограниченным набором интегралов движения. Примерами могут служить следующие интегралы:
где верхняя черта означает взятие комплексного сопряжения.
Литература
- Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
- Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
- Шрёдингера уравнение нелинейное — статья из Физической энциклопедии
- Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 574—578. — 622 с.
Примечания
- ↑ (1974) «On the complete integrability of a nonlinear Schrödinger equation». Journal of Theoretical and Mathematical Physics 19 (3): 551–559. DOI:10.1007/BF01035568. Bibcode: 1974TMP....19..551Z.. Originally in: (June, 1974) «{{{title}}}». Teoreticheskaya i Matematicheskaya Fizika 19 (3): 332–343.
Категории:- Теория волн
- Нелинейная оптика
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Нелинейные уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.