- Правило Лопиталя
-
Правило Бернулли[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Содержание
Точная формулировка
Условия:
- или ;
- и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
- в проколотой окрестности ;
- существует ,
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.[2]
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида .
Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:
- ,
но , поэтому .
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:
- для конечного предела и
- для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где — O(1). Запишем это условие:
- .
Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :
- , что можно привести к следующему виду:
- .
Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :
- .
Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
- .
В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:- ;
- при .
В искусстве
...и рассказывали анекдоты о раскрытии неопределенностей методом Лопиталя
Братья Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».
Примечания
- ↑ http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf
- ↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категории:- Математический анализ
- Теоремы
- Доказательства
- Пределы
Wikimedia Foundation. 2010.