Коммутантно-ассоциативная алгебра

Коммутантно-ассоциативная алгебра — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Тождеству коммутантной ассоциативности:

$([A_1,A_2], [A_3,A_4], [A_5,A_6]) =0$,

для всех $A_1,A_2, A_3,A_4, A_5,A_6 \in M$. где $[A,B] = g(A,B) - g(B,A)$ — коммутатор элементов A и B, а $(A,B,C) = g(g(AB),C) - g(A,g(B,C))$ — ассоциатор элементов A, B и C.

2. Условию билинейности:

$g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)$

для всех $A,B,C \in M$ и $a,b \in F$.

Другими словами, алгебра M является коммутантно-ассоциативной, если коммутант, то есть подалгебра алгебры M образованная всеми коммутаторами $[A,B]$, является ассоциативной алгеброй.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования $[A,B]=g(A,B)-g(B,A)$, превращает ее в алгебру $M^{(-)}$. При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Валя.

См. также

• Абстрактная алгебра
• Алгебра Мальцева
• Альтернативная алгебра
• Алгебра Валентины
• Группа Ли

Литература

• A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
• V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
• A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0828401683 ISBN 9780828401685
• A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
• A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
• A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569—576 (In Russian)
• Schafer R.D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5
• V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp.168-178.
• V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. ISBN 0444530916 ISBN 9780444530912
• Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104