- Изодиаметрическое неравенство
-
Изодиаметрическое неравенство (также Изодиаметрическое неравенство Бибербаха) — неравенство в теории меры.
Формулировка неравенства
Пусть — внешняя мера Лебега на . Тогда для любого выполняется неравенство
- ,
где
- —
объём n-мерного единичного шара, — диаметр множества в стандартной евклидовой метрике на :
- .
В частном случае, при , получаем интересный факт, что площадь плоской фигуры оценивается следующим образом:
где — половина диаметра фигуры (в общем случае, как известно, радиус плоской фигуры колеблется в пределах , и равен половине диаметра только в тривиальных случаях).
Источники
- Берже М. — «Геометрия. Том 1». В советском издании 1984 года см. стр. 324, пункт 9.13.8. Электронная версия — http://reslib.com/book/Geometriya__Tom_1
- Гариепи Р.Ф., Эванс Л.К. — «Теория меры и тонкие свойства функций». В российском издании 2002 года см. стр. 54, пункт 2.2.
См. также
Категория:- Теория меры
Wikimedia Foundation. 2010.