Empirical Mode Decomposition

EMD (англ. Empirical Mode Decomposition) — метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод».

Метод EMD представляет собой итерационную вычислительную процедуру, в результате которой исходные данные (непрерывный или дискретный сигнал) раскладываются на эмпирические моды или внутренние колебания (англ. intrinsic mode functions, IMF). В отличие от гармонического анализа, где модель (дискретного или непрерывного) сигнала задаётся заранее, эмпирические моды вычисляются в ходе процесса, что и подчёркивается в названии метода. Разложение на эмпирические моды позволяет анализировать локальные явления, поэтому данный метод может быть использован при обработке нестационарных временных рядов (или процессов).

Метод EMD является неотъемлемой частью преобразования Гильберта — Хуанга.

Определения

Огибающая сигнала

Огибающая сигнала — это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала, например, по экстремумам.

У каждого (дискретного или непрерывного) сигнала имеются локальные экстремумы: локальные максимумы и локальные минимумы. В результате, можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локального минимума, и верхнюю огибающую, построенную по точкам локального максимума.

В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.

Среднее значение

В методе EMD используется так называемое «среднее значение» — функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.

Эмпирическая мода

Эмпирическая мода, внутреннее колебание или мода (англ. intrinsic mode functions, IMF) — эта такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:

1. Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.
2. Среднее значение, которое определяется по двум огибающим — верхней и нижней, должно быть равно нулю.

Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.

Просеивание

Процедура выделения эмпирических мод называется просеиванием (англ. sifting).

Алгоритм метода

Пусть $X(t)$ — анализируемый сигнал.

Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод $c_j$ и остатков $r_j=r_{j-1}-c_j$, где $j=1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n$ и $r_0=X(t)$.

В результате, получается разложение сигнала вида

$X(t)=\sum_{j=1}^n c_j+r_n,$

где $n$ — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

Схема алгоритма

В общем виде, алгоритм метода выглядит следующим образом.

Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.

Строятся две огибающие сигнала: нижняя $\nu$ и верхняя $\mu$. При этом можно использовать сплайн (например, кубический).

Вычисляются среднее значение $m_1$ и разность $h_1$ между сигналом и его средним значением:

$X(t)-m_1=h_1$.

Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученное среднее значение и будет эмпирической модой.

В противном случае, необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности $h_1$ (поиск экстремумов, построение огибающих, вычисление среднего и его вычитание):

$h_{1}-m_{11}=h_{11}$.

В результате выполнения последовательности итераций вида

$h_{1(k-1)}-m_{1k}=h_{1k}\,$

необходимо получить функцию

$c_1=h_{1k},\,$

которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая $c_1$, выделена, итерации прекращаются.

Вычисляется остаток $r_1=x-c_1$, и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции $r_1$.

Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя будет выделить эмпирическую моду.

Условия останова

При просеивании последовательно вычисляются функции $h_k$, поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.

Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа $k$ величину

${SD}_k=\frac{\sum\limits_{t=0}^T|h_{k-1}(t)-h_k(t)|^2}{\sum\limits_{t=0}^T h_{k-1}^2(t)}.$

Итерации прекращаются как только число ${SD}_k$ станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.

Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля $Z_k$ и количества экстремумов $E_k$: процесс просеивания обрывается, если $Z_k=E_k$ или $|Z_k-E_k|=1$ имеет место на протяжении $S$ итераций. Число $S$ выбирается заранее.

См. также

• Преобразование Гильберта — Хуанга

Литература

• Huang, et al The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1998. — Т. 454. — С. 903—995.