Функции Ганкеля

Фу́нкции Га́нкеля (Ха́нкеля) (Функции Бесселя третьего рода) - это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля.

$H_{\nu}^{(1)}(z)=J_{\nu}(z)+iN_{\nu}(z)$ — функция Ганкеля первого рода;

$H_{\nu}^{(2)}(z)=J_{\nu}(z)-iN_{\nu}(z)$ — функция Ганкеля второго рода.

Функции Ганкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца.

Свойства

• Представление функциями Бесселя первого рода:

$H_{\nu}^{(1)} (z) = \frac{J_{-\nu} (z) - e^{-\nu\pi i} J_{\nu} (z)}{i \sin (\nu\pi)}$

• Представление функциями Бесселя второго рода:

$H_{\nu}^{(2)} (z) = \frac{J_{-\nu} (z) - e^{\nu\pi i} J_{\nu} (z)}{- i \sin (\nu\pi)}$

• Определитель Вронского:

$W\left[H_{\nu}^{(1)} (z),H_{\nu}^{(2)} (z)\right]=-\frac{4i}{\pi z}$

• Симметрия по индексу:

$H_{-\nu}^{(1)} (z) = e^{\nu\pi i} H_{\nu}^{(1)} (z)$

$H_{-\nu}^{(2)} (z) = e^{-\nu\pi i} H_{\nu}^{(2)} (z)$

• Асимптотические представления:

$H_{-\nu}^{(1)} (z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{\frac{i}{4}(4z-2\pi\nu-\pi)}$, если $|z|\to\infty, -\pi<\arg z<2\pi$;

$H_{-\nu}^{(2)} (z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{-\frac{i}{4}(4z-2\pi\nu-\pi)}$, если $|z|\to\infty, -2\pi<\arg z<\pi$.

См. также

• Функции Бесселя
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя

Литература

• Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.

Ссылки

• Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4.