Уравнения Блоха

Уравнения Блоха

Макроскопические уравнения, используемые для вычисления ядерной намагниченности M = (Mx, My, Mz) как функции времени с временами релаксации T1 и T2. Находят широкое применение в таких отраслях физики как ЯМР, МРТ и ЭПР. Названы в честь лауреата Нобелевской премии по физике Феликса Блоха, впервые введшего их в 1946 году [1]. В литературе иногда называются уравнениями движения ядерной намагниченности.

Содержание

Уравнения в лабораторной(стационарной) системе координат

Пусть M(t) = (Mx(t), My(t), Mz(t)) ядерная намагниченность. Тогда уравнения Блоха имеют следующий вид:

\frac {d M_x(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _x - \frac {M_x(t)} {T_2}
\frac {d M_y(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _y - \frac {M_y(t)} {T_2}
\frac {d M_z(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _z - \frac {M_z(t) - M_0} {T_1}

здесь γ -гиромагнитное отношение, а B(t) = (Bx(t), By(t), B0 + ΔBz(t)) - напряженность магнитного поля на ядре. Z-компонента вектора В есть сумма постоянной (B0) и изменяющейся во времени ΔBz(t), использующейся в частности для пространственного разрешения ЯМР-сигнала. × - знак векторного произведения векторов. M0 - стационарное значение ядерной намагниченности (например при t → ∞) вдоль внешнего приложенного поля.

Физическое обоснование

Уравнения Блоха феноменологические. При отсутствии релаксации (то есть при T1 и T2 → ∞) уравнения Блоха упрощаются до:

\frac {d M_x(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _x
\frac {d M_y(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _y
\frac {d M_z(t)} {d t} = \gamma ( \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)  ) _z

или в векторной записи:

\frac {d \bold {M}(t)} {d t} = \gamma  \bold {M} (t) \times \bold {B} (t)

Это уравнение Ларморовской прецессии ядерной намагниченности M вокруг внешнего приложенного поля B.

Члены

\left ( -\frac {M_x} {T_2},  -\frac {M_y} {T_2}, -\frac {M_z - M_0} {T_1} \right )

отвечают процессу продольной и поперечной релаксации ядерной намагниченности M.

Уравнения Блоха являются макроскопическими: они являются уравнениями движения для макроскопической ядерной намагниченности, которая может быть получена сложением отдельных ядерных магнитных моментов образца. Для описания поведения каждого магнитного момента они не пригодны.

Альтернативная форма записи уравнений Блоха

После открытия скобок векторного произведения и введения Mxy, Вxy согласно

M_{xy} = M_x + iM_y \text{  и  } B_{xy} = B_x + iB_y\,

,получим

\frac {d M_{xy}(t)} {d t} = -i \gamma \left ( M_{xy} (t) B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) \right ) -
\frac {M_{xy}} {T_2} .
\frac {d M_z(t)} {d t} = i \gamma \left ( M_{xy} (t) \overline{B_{xy} (t)} - 
\overline {M_{xy}} (t) B_{xy} (t) \right )
- \frac {M_z - M_0} {T_1}

Здесь i = √(-1) и :\overline {M_{xy}} = M_x - i M_y .

Действительная и мнимая части Mxy соответствуют Mx и My. Mxy также иногда называется поперечной ядерной намагниченностью.

Уравнения Блоха во вращающейся системе координат

При отсутствии релаксации (T1 and T2 → ∞) и постоянном внешнем поле, направленном вдоль оси z (B(t) = (0, 0, B0), решениями уравнений Блоха являются

M_{xy}(t) = M_{xy} (0) e^{-i \gamma B_{0} t},
M_z(t) = M_0 = \text{const} \,.

Таким образом, поперечная намагниченность Mxy вращается вокруг оси z с угловой частотой ω0 = γB0 против часовой стрелки. Продольная намагниченность Mz остается постоянной во времени. Если перейти в систему координат, вращающуюся с частотой Ω (выбор которой может быть обусловлен, например, частотой внешнего переменного поля ΔВ), то в ней решение представится в виде:

M_z' (t) = M_z(t)\,.
M_{xy}'(t) = e^{+i \Omega t} M_{xy}(t)\,.

Уравнения движения поперечной намагниченности во вращающейся системе координат

Подставив выражение из предыдущей секции получим:

\frac {d M_{xy}'(t)} {d t} = \frac {d \left ( M_{xy}(t) e^{+i \Omega t} \right )} {d t} =
e^{+i \Omega t} \frac {d M_{xy}(t) } {d t} + i \Omega e^{+i \Omega t} M_{xy} =
e^{+i \Omega t} \frac {d M_{xy}(t) } {d t} + i \Omega M_{xy}'

Уравнения Блоха во вращающейся системе координат примут вид:

\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} & = e^{+i \Omega t} \left [-i \gamma \left ( M_{xy} (t) B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) \right ) -
\frac {M_{xy}} {T_2} \right ] + i \Omega M_{xy}' = \\

& = \left [-i \gamma \left ( M_{xy} (t) e^{+i \Omega t} B_z (t) - M_z (t) B_{xy} (t) e^{+i \Omega t}\right ) -
\frac {M_{xy} e^{+i \Omega t} } {T_2} \right ] + i \Omega M_{xy}' = \\

& = -i \gamma \left ( M_{xy}' (t) B_z' (t) - M_z' (t) B_{xy}' (t) \right ) + i \Omega M_{xy}' -
\frac {M_{xy}'} {T_2} 

\end{align}

С учетом ранее принятого представления напряженности магнитного поля как суммы постоянной и переменной составляющей (Bz′(t) = Bz(t) = B0 + ΔBz(t)) уравнения окончательно принимают вид:

\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} & =  -i \gamma \left ( M_{xy}' (t) (B_0 + \Delta B_z(t)) - M_z (t) B_{xy}' (t) \right ) + i \Omega M_{xy}' -
\frac {M_{xy}'} {T_2} =\\

& =  -i \gamma  (t) B_0 M_{xy}' - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t)+ i \Omega M_{xy}' -
\frac {M_{xy}'} {T_2} \\

& =  i (\Omega - \omega_0) M_{xy}'(t) - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t) -
\frac {M_{xy}'} {T_2} \\

\end{align}

Слагаемые в правой части:

  • i (Ω - ω) Mxy′(t) - Ларморовское вращение в системе координат, вращающейся с угловой частотой Ω относительно лабораторной. Обращается в ноль при Ω = ω0.
  • -i γ ΔBz(t) Mxy′(t) определяет влияние неоднородности магнитного поля вдоль оси z (зависимость от ΔBz(t)) на поперечную ядерную намагниченность.
  • i γ ΔBxy′(t) Mz(t) определяет поведение поперечной намагниченности при приложении переменного поперечного магнитного поля ( ΔBxy′(t) ) на ядерную намагниченность. Используется для описания эффектов импульсного ЯМР.
  • - Mxy′(t) / T2 описывает понижение когерентности поперечной намагниченности со временем.

Простые решения уравнений Блоха

Релаксация поперечной ядерной намагниченности Mxy

Предположим:

  • Внешнее магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z(Bz′(t) = Bz(t) = B0). Тогда ω0 = γB0, ΔBz(t) = 0 и Bxy' = 0.
  • Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω0.

Тогда во вращающейся системе координат уравнение движения поперечной намагниченности Mxy'(t) упрощается до:

\frac {d M_{xy}'(t)} {d t} =  - \frac {M_{xy}'} {T_2}

Решение этого уравнения:

 M_{xy}'(t) = M_{xy}'(0) e^{-t / T_2}.

где Mxy'(0) поперечная намагниченность при t = 0. При точном совпадении частоты ВСК с Ларморовской частотой (Ω = ω0), вектор поперечной намагниченности является постоянным.

π/2 и π импульсы

Предположим, что:

  • Продольное магнитное поле постоянно и приложено вдоль оси z. То есть Bz′(t) = Bz(t) = B0, ω0 = γB0 и ΔBz(t) = 0.
  • В момент времени t = 0 на образец подается переменное поперечное магнитное поле на частоте ω0.
  • Система координат вращается относительно лабораторной с частотой Ω = ω0.
\begin{align} \frac {d M_{xy}'(t)} {d t} =  i (\Omega - \omega_0) M_{xy}'(t) - i \gamma  \Delta B_z(t) M_{xy}'(t) + i \gamma  B_{xy}' (t) M_z (t) -
\frac {M_{xy}'} {T_2}

\end{align}

Путем изменения времени приложения переменного поля можно добиться прецессии ядерной намагниченности на углы π/2 и π. В результате можно можно наблюдать, например, эффект спинового эха.

Релаксация продольной ядерной намагниченности Mz

Ссылки

  1. F Bloch, Nuclear Induction, Physics Review 70, 460-473 (1946)

Литература

  • Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, 8th edition (2004), ISBN 978-0-471-41526-8. Chapter 13 is on Magnetic Resonance.
  1. Абрагам А. Ядерный магнетизм, М.: Издательство иностр. лит., 1963.
  2. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса, М.: Мир, 1981.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Уравнения Блоха" в других словарях:

  • Уравнение Блоха —     Квантовая механика …   Википедия

  • Блох, Феликс — Феликс Блох Felix Bloch Выдающийся учёный физик, лауреат Нобелевской премии по физике Дата рождения: 23 октября 1905( …   Википедия

  • Блох Ф. — Феликс Блох Felix Bloch выдающийся ученый физик, лауреат Нобелевской премии по физике Дата рождения: 23 октября 1905 …   Википедия

  • Блох Феликс — Феликс Блох Felix Bloch выдающийся ученый физик, лауреат Нобелевской премии по физике Дата рождения: 23 октября 1905 …   Википедия

  • Феликс Блох — Felix Bloch выдающийся ученый физик, лауреат Нобелевской премии по физике Дата рождения: 23 октября 1905 …   Википедия

  • Релаксация (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Релаксация (значения). Релаксация (от лат. relaxatio  ослабление, уменьшение)  процесс установления термодинамического, а следовательно, и статистического равновесия в физической… …   Википедия

  • Уравнение Ландау —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Магнетизм —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Физика —         I. Предмет и структура физики          Ф. – наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы её движения. Поэтому понятия Ф. и сё законы лежат в основе всего… …   Большая советская энциклопедия

  • Частица в периодическом потенциале — В квантовой механике, частица в одномерном периодическом потенциале это идеализированная задача, которая может быть решена точно (при некоторых специального вида потенциалах), без упрощений. Предполагается, что потенциал бесконечен и периодичен,… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»