Уравнение Каратеодори

Уравнение Каратеодо́ри — обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac{dx}{dt} = f(t,x), \ \, x=(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n, \ \, n \ge 1, \quad \ (*)$

в котором правая часть (т.е. компоненты вектор-функции $f$) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единственность решения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов и условие Липшица по $x$), а некоторому существенно более слабому условию, называемому условием Каратеодори:

• вектор-функция $f$ определена и непрерывна по $x$ для почти всех (в смысле меры Лебега) $t$ в области $D$ пространства $(t,x)$.

• вектор-функция $f$ измерима по $t$ для каждого $x$ в области $D$.

• для каждого ограниченного интервала оси $t$ в области $D$ выполняется неравенство $|f(t,x)|\le m(t),$ где $m(t)$ — суммируемая (т.е. интегрируемая по Лебегу) функция.

Решением уравнения Каратеодори (*) с начальным условием $x(t_0)=x_0$ называется измеримая вектор-функция $x(t),$ удовлетворяющая интегральному уравнению

$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} f(\tau, x(\tau))\, d\tau. \quad \ (**)$

Интеграл в (**) понимается в смысле интеграла Лебега для каждой компоненты вектор-функции $f$. Корректность определения основана на том, что композиция измеримой функции $x(t)$ и удовлетворяющей условию Каратеодори функции $f(t,x)$ является суммируемой функцией от переменной $t.$

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущим классическим уравнениям с непрерывной правой частью.

Теорема существования и единственности

• Предположим, что условие Каратеодори выполнено в области $D=\{t_0\le t \le t_0+a, \ |x-x_0|\le b\}$, $a,b>0,$ тогда существует такое $\delta>0,$ что уравнение (*) с начальным условием $x(t_0)=x_0$ имеет решение $x(t)$ на отрезке $[t_0,t_0+\delta].$ В качестве $\delta$ можно взять любое число, удовлетворяющее условиям

$0< \delta \le a, \quad \mu(t_0+\delta) \le b, \quad \mu(t) := \int_{t_0}^{t} m(\tau)\, d\tau.$

• Если существует такая суммируемая функция $l(t),$ что выполняется неравенство

$|f(t,x)-f(t,y)|\le l(t) |x-y|, \quad \forall (t,x),(t,y)\in D,$

или неравенство

$(f(t,x)-f(t,y)) \cdot (x-y)\le l(t) |x-y|^2, \quad \forall (t,x),(t,y)\in D,$

где в случае $n>1$ точка означает скалярное произведение, то уравнение (*) с начальным условием $x(t_0)=x_0$ в области $D$ имеет не более одного решения.

Литература

• Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, — Наука, Москва, 1985.

Ссылки

• Ахмеров Р. Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений