Система корней

Эта статья описывает систему корней в математике, для описания корневой системы растений смотрите — корень.

В математике систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) — это конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определенным геометрическим свойствам. Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли. С тех пор как группы Ли (и некоторые другие аналоги, такие как алгебраические группы) в течение двадцатого века появились во многих разделах математики. Более того, классификация систем корней по схемам Дынкина встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли (например, в теории сингулярностей).

Определение

Пусть $V$ — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как $(\cdot,\;\cdot)$. Система корней в $V$ — это конечное множество $\Phi$ ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для $\scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle}$ заставляет $\scriptstyle\beta$ лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для $\scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle}$ сводит возможные углы между $\scriptstyle\alpha$ и $\scriptstyle\beta$ не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

1. $V$ является линейной оболочкой системы корней.
2. Если два корня $\alpha \in \Phi$, $\beta \in \Phi$ являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо $\beta = -\alpha$.
3. Для каждого корня $\alpha \in \Phi$ множество $\Phi$ замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной $\alpha$. То есть для любых двух корней $\alpha$ и $\beta$, множество $\Phi$ содержит отражение $\beta$

   $\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)}\alpha \in \Phi.$

4. (Целостное условие) Если $\alpha$ и $\beta$ есть корни в $\Phi$, тогда проекция $\beta$ на прямую, проходящую через $\alpha$, есть полуцелое умножение $\alpha$. То есть

   $\langle \beta,\; \alpha \rangle = 2 \frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)} \in \mathbb{Z}.$

Принимая во внимание свойство 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между $\beta$ и его отражением $\sigma_\alpha(\beta)$ равна корню $\alpha$, умноженному на некоторое целое число. Следует отметить, что оператор

$\langle \cdot,\; \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}$

определенный свойством 4 не является скалярным произведением. Он не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Классификация систем корней по схемам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1, она состоит из двух ненулевых векторов $\{\alpha,\;-\alpha\}$. Эта система называется $A_1$.

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта $\sigma_\alpha(\beta)=\beta+n\alpha$, где $n=0,\;1,\;2,\;3$.

Система корней ранга 2

Система корней $A_1\times A_1$	Система корней $A_2$
Система корней $B_2$	Система корней $G_2$

См. также

• E8 (математика)

Ссылки

• Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2. — № 4(20). — С. 59–127.
• Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60). — № 3. — С. 347–352.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. -- М.: МЦНМО, 2008. -- 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам -- М.: УРСС, 1995. -- 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. -- М.: Наука, 1980. -- 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. -- М.: Мир, 1972. -- 332 с.