Релятивистски равноускоренное движение

Релятивистски равноускоренное движение (или релятивистское равномерно ускоренное движение) — такое движение объекта, при котором ускорение постоянно в сопутствующей (собственной) системе отсчета, то есть в системе, в которой мгновенная скорость объекта равна нулю. Примером может быть движение тела постоянной массы под действием постоянной (в сопутствующей системе отсчёта) силы.

В отличие от классической механики, физическое тело не может всё время двигаться с неизменным (в фиксированной инерциальной системе отсчёта) ускорением, так как в этом случае его скорость рано или поздно превысит скорость света. В релятивистской механике постоянная сила, действующая на объект, непрерывно изменяет его скорость, оставляя её, тем не менее, меньше скорости света. Простейшим примером релятивистски равноускоренного движения является одномерное движение заряженной частицы в однородном электрическом поле, направленном вдоль скорости^[1].

Зависимость скорости от времени

При воздействии силы^[2] $\textstyle \mathbf{f}$ на объект массой $\textstyle m$, его импульс изменяется следующим образом ^[3]:

$\mathbf{f} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{m\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}.$

Если сила постоянна, то это уравнение легко интегрируется:

$\frac{\mathbf{u}}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2/c^2}}=\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t,$

где $\textstyle \mathbf{a}=\mathbf{f}/m$ — постоянный вектор в направлении силы, а $\textstyle \mathbf{w}_0$ — константа интегрирования, выражающаяся через начальную скорость объекта $\textstyle \mathbf{u}_0$ в момент времени $\textstyle t=0$:

$\mathbf{w}_0=\frac{\mathbf{u}_0}{\sqrt{1-\mathbf{u}^2_0/c^2}}.$

Явное выражение скорости через время имеет вид:

$\mathbf{u}(t) = \frac{\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t}{\sqrt{1+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2/c^2}}.$

Скорость частицы под воздействием постоянной силы стремится к скорости света, но никогда её не превышает. В нерелятивистском пределе малых скоростей зависимость скорости от времени принимает классический вид:

$\mathbf{u} \approx \mathbf{u}_0+\mathbf{a}\,t.$

Траектория движения

Траектория равноускоренного движения в общем случае зависит от ориентации постоянных векторов $\textstyle \mathbf{a}$ и $\textstyle \mathbf{w}_0.$ После интегрирования уравнения $\textstyle \mathbf{u}(t)=d\mathbf{r}/dt$ получается следующее выражение:

$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0+\frac{\displaystyle\mathbf{a}\,c}{\displaystyle a^2}\, \left( \sqrt{c^2+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}\,t)^2} - \sqrt{c^2+\mathbf{w}_0^2}\right) +\frac{[\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]}{a^2}\cdot\tau_0,$

где $\textstyle \mathbf{r}_0$ — радиус-вектор положения тела в момент времени $\textstyle t=0,$ а $\textstyle \tau_0$ — собственное время объекта ^[4]:

$\tau_0 = \frac{c}{a}\cdot \ln\frac{\displaystyle \sqrt{c^2+(\mathbf{w}_0+\mathbf{a}t)^2}+at+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}{\displaystyle \sqrt{c^2+\mathbf{w}^2_0}+(\mathbf{w}_0\mathbf{a})/a}.$

Жирным шрифтом обозначены вектора, а обычным — их длины. Если собственное ускорение $\textstyle \mathbf{a}$ и начальная скорость $\textstyle \mathbf{u}_0$ параллельны друг другу, то векторное произведение $\textstyle [\mathbf{a}\times[\mathbf{w}_0\times \mathbf{a}]]$ равно нулю, и выражение для траектории заметно упрощается. В этом случае, если объект двигается вдоль оси x, то временная диаграмма на плоскости (x, t) является гиперболой $x(t) = \mathrm{const} + \sqrt{c^2t^2+c^4/a^2}.$ Поэтому одномерное равноускоренное релятивистское движение иногда называют гиперболическим.

Собственное время $\textstyle \tau_0$ равно времени, прошедшему на часах, связанных с объектом, от начального момента $\textstyle t=0$ до момента времени $\textstyle t$ в неподвижной системе отсчёта, относительно которой наблюдается движение. В результате замедления времени всегда $\textstyle \tau_0<t.$

В нерелятивистском пределе $\textstyle c\to\infty$ (малые скорости) получается классическое уравнение равноускоренного движения:

$\mathbf{r}(t)\approx \mathbf{r}_0+\mathbf{u}_0\, t+ \frac{\mathbf{a}\,t^2}{2}.$

Собственное ускорение

Постоянный вектор $\textstyle \mathbf{a}$ имеет смысл обычного ускорения в мгновенной системе отсчёта, связанной c ускоряющимся телом. Если тело относительно своего предыдущего положения постоянно увеличивает скорость на $\textstyle a\,dt',$ то в неподвижной системе отсчёта такое движение будет релятивистски равноускоренным. По этой причине параметр $\textstyle a$ называется собственным ускорением. Приняв такое определение движения, можно получить зависимость скорости от времени, не обращаясь к динамике, оставаясь только в рамках кинематики теории относительности ^[5].

Излучение равномерно ускоренного заряда

Заряд e, движущийся с постоянным собственным ускорением a, излучает электромагнитные волны с мощностью $P=\frac{2e^2 a^2}{3c^3}$ (в гауссовой системе). При этом радиационное трение отсутствует^[6].

См. также

• Координаты Риндлера

Примечания

1. ↑ Движение заряженной частицы под углом, не равным 0 или 180°, к однородному электрическому полю не является равноускоренным, поскольку, вообще говоря, при лоренцевском преобразовании электромагнитное поле изменяется, что приводит к изменению действующей на тело силы в сопутствующей системе отсчёта. Исключение составляет лишь лоренцевское преобразование вдоль однородного электрического поля; в этом случае поле не меняется.
2. ↑ В этой статье векторы выделены жирным шрифтом
3. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
4. ↑ Логунов А. А. — Лекции по теории относительности и гравитации: Современный анализ проблемы, М.: «Наука», 1987.
5. ↑ Ускоренное движение в теории относительности
6. ↑ В. Л. Гинзбург. Об излучении и силе радиационного трения при равномерно ускоренном движении заряда. // УФН, 98 (1969) 569—585.