Парадокс интересных чисел

Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь улучшить эту статью, исправив в ней ошибки. Оригинал на английском языке — Interesting number paradox.

Парадокс интересных чисел — полуюмористический парадокс, который возникает из-за попыток классифицировать натуральные числа как «интересные» и «скучные». Согласно парадоксу, все натуральные числа являются интересными. Существует противоречивое доказательство от противного: если бы было «неинтересное» число, было бы и самое маленькое неинтересное число, однако то, что это число является первым в последовательности неинтересных чисел, автоматически делает его интересным ​— именно это и создаёт противоречие.

Доказательство

Утверждение:

«Неинтересных натуральных чисел нет».

Доказательство от противного: предположим, что у вас есть непустое множество натуральных чисел, которые неинтересны. В связи с тем, что множество натуральных чисел является вполне упорядоченным, должно быть некоторое самое маленькое число в ряде неинтересных чисел. Обладая такой уникальной особенностью, это число более не может быть названо неинтересным, следовательно, не может находиться в ряду неинтересных чисел.

Парадоксальный характер

Попытки классифицировать все числа таким образом ведут к парадоксу или антимонии определения. Любой гипотетический раздел натуральных чисел на «интересные» и «скучные» множества ведёт к провалу. Поскольку определение чего-либо как интересное является субъективным, здесь оно может быть рассмотрено как полушутливое применение самореференции, используемое с целью получения парадокса. (Парадокс облегчается, если понятие «интересно» сделать объективным: к примеру, самое маленькое натуральное число, которое не имеет посвящённой ему страницы в Википедии — 436; наименьшее число, отсутствующее в интернет-энциклопедии целочисленных последовательностей — 12407.)

Поскольку существует много значимых работ в области математики, которые используют самореференцию (например теорема Гёделя о неполноте), описываемый парадокс затрагивает серьёзные проблемы во многих областях исследований.

Эта версия парадокса распространяется только на вполне упорядоченные множества с естественным порядком, такие как натуральные числа; аргумент неприменим в отношении действительных чисел.

Одно из предложенных решений парадокса утверждает, что первое неинтересное число сделано интересным уже одним этим обстоятельством. К примеру, если 39 и 41 были бы двумя неинтересными числами, тогда 39 может рассматриваться как интересное, тогда как 41 остаётся неинтересным, ведь оно не первое неинтересное число. Однако это решение является неверным, ведь парадокс доказывается от противного: предположив какое-то число неинтересным, мы приходим к тому, что это же число именно этим и интересно, следовательно, неинтересное число не может существовать. Целью решений является, в частности, не выявление интересных или неинтересных чисел, но поднятие вопроса о том, могут ли числа обладать такими свойствами в принципе.

Слабое место доказательства ​— отсутствие ясности в том, что считать «интересностью» числа. Однако, положив, что этот предикат связан с конечным определённым списком «интересных свойств натуральных положительных чисел», и этот список содержит в себе определение наименьшего числа, не имеющего ни одного свойства из данного списка, как интересное, возникает парадокс. Похожим образом самореференция используется в близкородственном парадоксе Берри. Так как парадокс лежит в определении понятия «интересно», он применяется только к людям с определённым взглядом на числа; если для кого-то все числа представляются скукой смертной и он не находит интересным факт, что ноль является первым неинтересным числом (в мировоззрении данного конкретного человека), тогда парадокс не возникает.

Литература

• Martin Gardner, Mathematical Puzzles and Diversions, 1959 (ISBN 0-226-28253-8)