Интеграл столкновений

Интеграл столкновений — выражение, составляющее правую часть кинетического уравнения Больцмана, которое определяет скорость изменения функции плотности распределения частиц $f\left(\vec{r},\vec{p},t\right)$ вследствие столкновений между ними:

$I(f,f_1)= \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.$

Иногда интеграл столкновений называют оператором столкновений и обозначают $\mathrm{St}f$.

Если рассматривать только упругие парные столкновения в газе частиц одного сорта, то интеграл столкновений будет иметь вид:

$I(f,f_1)=\int{\left(f^\prime f_1^\prime-f f_1\right)\cdot u\cdot\sigma(u,\theta)d\Omega d^3p_1},$

или

$I(f,f_1)=\int\omega\cdot(f^\prime f_1^\prime-ff_1)\,d^3p_1d^3p^\prime d^3p_1^\prime,$

где

• $f=f\left(\vec{r},\vec{p},t\right),~f_1=f\left(\vec{r},\vec{p}_1,t\right)$ — функции распределения частиц с импульсами $\vec{p},~\vec{p}_1$ до столкновения;
• $f^\prime=f\left(\vec{r},\vec{p}^\prime,t\right),~f_1^\prime=f\left(\vec{r},\vec{p}_1^\prime,t\right)$ — функции распределения частиц с импульсами $\vec{p}^\prime,~\vec{p}_1^\prime$ после столкновения;
• $\sigma(u,\theta)$ — дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол $d\Omega$;
• $\vec{u}=\vec{v}-\vec{v}_1$ — относительная скорость сталкивающихся частиц;
• $\theta$ — угол между относительной скоростью и линией центров;
• $\omega=\mathrm{prob}(\vec{p}\,\vec{p}_1|\vec{p}^\prime\,\vec{p}_1^\prime)$ — плотность вероятности столкновения.

$\omega\,d^3p^\prime d^3p_1^\prime=u\,d\sigma,$

$d\sigma=\sigma(u,\theta)\,d\Omega$

Эффективное сечение зависит от вида потенциала взаимодействия двух частиц. В частности, для жёстких упругих сфер радиуса $R$:

$\sigma(u,\theta)=4R^2\cos\theta$

Интеграл столкновений представляет собой разность мощностей источников и стоков частиц с данными импульсами:

$I(f,f_1)=q_+-q_-,$

где

• $q_+=\int\omega\cdot f^\prime f_1^\prime\,d^3p_1 d^3p^\prime d^3p_1^\prime$ — мощность источников частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в в данной точке появляющихся за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов;
• $q_-=\int\omega\cdot f f_1\,d^3p_1 d^3p^\prime d^3p_1^\prime$ — мощность стоков частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке исчезающих за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов.

В случае, если для рассматриваемых молекул существенны квантовые эффекты, то интеграл столкновений принимает вид:

$I(f,f_1)=\int\omega\cdot\left(f^\prime f_1^\prime(1\pm f)(1\pm f_1)-ff_1(1\pm f^\prime)(1\pm f_1^\prime)\right)\,d^3p_1d^3p^\prime d^3p_1^\prime,$

где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.

Аппроксимации

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Модель Батнагера—Гросса—Крука (БГК)^[1]

$I(f,f^\prime) = \frac{1}{\tau}(f-f^\prime)$,

где $\tau$ — время релаксации, то есть среднее время между столкновениями.

Примечания

1. ↑ E. J. Davis, G. Schweiger The airborne microparticle.

Ссылки

• Интеграл столкновений — статья из Физической энциклопедии