Закон Кюри

Закон Кюри — физический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:

$M = C \cdot \frac{B}{T},$

где в единицах Международной системе единиц (СИ): $M$ — получаемая намагниченность материала; $B$ — магнитное поле, измеренное в Теслах; $T$ — абсолютная температура в Кельвинах; $C$ — постоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально П. Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — намагниченность не подчиняется этому закону.

Вывод закона с использованием квантовой статистической механики

Магнитная восприимчивость парамагнетика как функция температуры.

Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной $\vec{\mu}$. Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:

$E=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

Области с двумя состояниями (спин-1/2)

Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента $\mu$, $-\mu$ и два значения энергии: $E_0 = - \mu B$ и $E_1 = \mu B$. При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала $\mu$:

$\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right) = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} - \mu e^{ - \mu B\beta} \right) = {2\mu \over Z} \sinh( \mu B\beta),$

где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма $Z$ обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:

$Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right)$

Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:

$\left\langle\mu\right\rangle = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right)$

Используя полученное выражение для одной области, получаем магнитную восприимчивость всего материала:

$M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)$

Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры $T$ велико, а $B$ мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:

$\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1$

И так как известно, что в случае $|x| \ll 1$ выполняется соотношение:

$\tanh x \approx x,$

получаем результат:

$\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={N\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},$

где константа Кюри равна $C= N\mu^2/k$. Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей, $M$ и $N\mu$ имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.

Общий случай

В общем случае произвольного распределения направлений магнитных моментов формула становится несколько более сложной (см. англ. Brillouin function). Как только значение спина приближается к бесконечности, формула для магнитной восприимчивости принимает классический вид.

Получение с помощью классической статистической механики

Альтернативный подход предполагает, что парамагнетоны представляют из себя области со свободно вращающимися магнитными моментами. В данном случае их положение определяется углами в сферических координатах, а энергия одной области представляется в виде:

$E = - \mu B\cos\theta,$

где $\theta$ — угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, которое, предположим, направлено вдоль координаты $z$. Соответствующая функция для одной области будет иметь вид:

$Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).$

Как видно, в данном случае нет явной зависимости от угла $\phi$, и мы также можем осуществить замену переменной $y=\cos\theta$, что позволяет получить:

$Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) = 2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }= {4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$

Математическое ожидание компоненты $z$ будет соответствовать степени намагниченности, а остальные две обратятся в нуль после интегрирования по $\phi$:

$\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .$

Для упрощения вычислений, запишем выражение в дифференциальной форме по переменной $Z$:

$\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z B} \partial_\beta Z,$

что дает:

$\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta),$

где $L$ носит название функции Ланжевена (см. Ланжевен):

$L(x)= \coth x -{1 \over x}.$

Эта функция имеет сингулярность (разрыв) для маленьких значений $x$, но на самом деле нет, так как две сингулярные компоненты с противоположным знаком сохраняют непрерывность функции. На самом деле, её поведение при небольших значениях аргумента $L(x) \approx x/3$, что сохраняет действие закона Кюри, но с втрое ме́ньшим постоянным множителем-константой Кюри. В случае предела с больши́м значением аргумента применение этой функции также возможно.

Применения

Сохранение закона Кюри для парамагнетиков в слабом магнитном поле позволяет их использование в качестве магнитных термометров.

См. также

• Закон Кюри — Вейса
• Парамагнетизм
• Пьер Кюри

Ссылки

• Закон Кюри — статья с сайта Элементы.ру
• Закон Кюри — статья из Большой советской энциклопедии