Аналогия Рейнольдса

Аналогия Рейнольдса — аналогия между переносом тепла и трением.

Математическое описание

Рассмотрим уравнения движения и теплопереноса (при условии, что пользуемся приближением пограничного слоя и отсутствует градиент давления):

$\rho \left( u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right ) = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2},$

$\rho C_p \left( u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} \right ) = k \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.$

Обезарзмерим их соответственно множителями $1/{\rho_\infty U_\infty l}$ и $1/{\rho_\infty C_p U_\infty l}$, где l — характерный размер задачи:

$u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\mathrm{Re}} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2},$

$u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{1}{\mathrm{Re} \mathrm{Pr}} \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.$

Решив эти уравнения, получим выражения для нарастания динамического и теплового пограничных слоёв:

$\frac{\delta}{l} \sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Re}}},$

$\frac{\delta_T}{l} \sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Re} \mathrm{Pr}}}.$

Отсюда следует, что

$\frac{\delta_T}{\delta} = \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Pr}}}.$

Применительно к газам это соотношение указывает на отсутствие большой разницы между толщиной теплового и динамического пограничных слоёв. Полученные соотношения иногда также называют аналогией Рейнольдса, однако, их стоит рассмотреть глубже. Запишем безразмерный коэффициент трения в следующем виде:

$C_f = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2} \sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Re}}},$

где $\tau_w = \mu \left(\frac{\partial u}{\partial y} \right )$ — местное касательное напряжение на стенке. Сопоставляя это соотношение с соотношениями для числа Нуссельта, получаем

$\mathrm{Nu} = \frac{1}{2}C_f \mathrm{Re} \cdot f({\mathrm{Pr}}).$

Это выражение и есть суть аналогии Рейнольдса.

В инженерной практике вместо числа Нуссельта часто используется число Стантона, величина которого также пропорциональна коэффициенту теплопередачи. Пользуясь теми же соотношениями, можно получить, что

$\mathrm{St} = \frac{C_f}{2} f(\mathrm{Pr}).$

Таким образом, можно сделать вывод о том, что без трения нет теплообмена. Для пластины поток тепла можно выразить следующей формулой:

$q = \frac{C_f}{2}C_p\rho U_\infty \Delta T.$

Выводы

С ростом потока массы пропорционально возрастает величина теплового потока, однако сопротивление трения повышается пропорционально квадрату скорости, т. е. при такой интенсификации теплообмена его эффективность по отношению к гидравлическим потерям понижается.

Возрастает величина теплового потока при повышении плотности и теплоёмкости. Для реализации этого воздействия можно использовать вещества с высоким значением произведения $\rho C_p$ (вода, жидкие металлы), а также повышать давление газовой среды.

Наиболее распространенным способом интенсификации теплообмена является повышение коэффициента трения или общего гидравлического сопротивления теплообменного устройства. Для этого на поверхности, на которой происходит теплообмен, выполняются неровности и выступы.

Литература

Крашенинников С. Ю. Введение в теорию теплообмена в воздушно-реактивных двигателях. — М.: ЦИАМ, 2009. — С. 158.