Теорема Меньшова

Теорема Меньшова — теорема математического анализа, доказанная в 1941 году советским математиком Д. Е. Меньшовым^[1]. Она утверждает, что любую интегрируемую периодическую функцию можно «немного подправить» так, чтобы ее ряд Фурье сходился к ней равномерно. Впоследствии было найдено несколько более простых доказательств этой теоремы^[2].

Формулировка

Пусть $f(x)$ — измеримая, конечная почти всюду функция, заданная на отрезке $[-\pi, \pi]$, и $\varepsilon>0$. Тогда существуют такая функция $G(x)$ и такое измеримое подмножество отрезка $\Omega$, что: 1. $mes \Omega > 2\pi-\varepsilon$; 2. $G(x) = f(x)$ на множестве $\Omega$; 3. Ряд Фурье функции $G(x)$ сходится к ней равномерно на всем отрезке.

Примечания

1. ↑ Д. Е. Меньшов Sur la convergence uniforme des séries de Fourier [О равномерной сходимости рядов Фурье] (на французском языке) // Математический сборник. — 1942. — В. 1-2. — Т. 11(53). — С. 67 — 96.
2. ↑ А. А. Талалян, Р. И. Овсепян Теоремы Д. Е. Меньшова о представлении и их влияние на развитие метрической теории функций // Успехи математических наук. — 1992. — В. 5(287). — Т. 47. — С. 15-44.