Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.

Формулы преобразований

Прямое преобразование:

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2 \pi i}{N} k n} \qquad k = 0, \dots, N-1$

Обратное преобразование:

$x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} k n} \quad \quad n = 0,\dots,N-1.$

Обозначения:

• $N$ — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

• $x_n, \quad n = 0,\dots,N-1,$ — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами $n = 0,\dots,N-1$, которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

• $X_k, \quad k = 0,\dots,N-1,$ — $N$ комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

• $|X_k| \over N$ — обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

• $\arg(X_k)$ — фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

• $k$ — индекс частоты. Частота k-го сигнала равна $\frac{k}{T}$, где $T$ — период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

Вывод преобразования

Рассмотрим некоторый периодический сигнал $x(t)$ c периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:

$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{i\omega_k t}, \qquad \omega_k = \frac{2\pi k}{T}$

Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов: $x_n = x(t_n)$, где $t_n = \frac nN T$, тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:

$x_n = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{i\omega_k t_n} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{\frac {2\pi i}{N} kn}$

Используя соотношение: $e ^{\frac{2\pi i}{N} \left(k+mN \right)n} = e ^{\frac{2\pi i}{N} kn}$, получаем:

$x_n = \sum_{k=0}^{N-1} X_k e ^{\frac{2\pi i}{N} kn},$     где     $\qquad X_k = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} c_{k+lN}$

Таким образом мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.

Умножим теперь скалярно выражение для $x_n$ на $e^{-\frac{2\pi i}{N} mn}$ и получим:

$\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} mn} = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{n=0}^{N-1} X_k e^{\frac{2\pi i}{N} (k-m)n} = \sum_{k=0}^{N-1} X_k \frac{1-e^{2\pi i (k-m)}}{1-e^{\frac{2\pi i (k-m)}{N}}} = \sum_{k=0}^{N-1} X_k N \delta_{km}$

Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:

$X_k = \frac 1N \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} kn}$

Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье.

В литературе принято писать множитель $\frac{1}{N}$ в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:

$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} kn}, \qquad x_n =\frac 1N \sum_{k=0}^{N-1} X_k e ^{\frac{2\pi i}{N} kn}$

Матричное представление

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов $\vec x$ в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение квадратной матрицы на вектор:

$\vec X = \hat A \vec x$

матрица А имеет вид:

$\hat A = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 &\ldots &1 \\ 1 &e^{-\frac{2\pi i}{N}} &e^{-\frac{4\pi i}{N}} &e^{-\frac{6\pi i}{N}} &\ldots &e^{-\frac{2\pi i}{N}(N-1)}\\ 1 &e^{-\frac{4\pi i}{N}} &e^{-\frac{8\pi i}{N}} &e^{-\frac{12\pi i}{N}} &\ldots &e^{-\frac{2\pi i}{N}2(N-1)}\\ 1 &e^{-\frac{6\pi i}{N}} &e^{-\frac{12\pi i}{N}} &e^{-\frac{18\pi i}{N}} &\ldots &e^{-\frac{2\pi i}{N}3(N-1)}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ 1 &e^{-\frac{2\pi i}{N}(N-1)} &e^{-\frac{2\pi i}{N}2(N-1)} &e^{-\frac{2\pi i}{N}3(N-1)} &\ldots &e^{-\frac{2\pi i}{N}(N-1)^2} \end{pmatrix}$

Элементы матрицы задаются следующей формулой:

$A(m,n) = \exp \left( -2\pi i \frac{(m-1)(n-1)}{N} \right)$

Свойства

1. линейность
   ${ax(n)+by(n)} \longleftrightarrow {aX(k)+bY(k)}$
2. сдвиг по времени
   ${x(n-m)} \longleftrightarrow X(k)e^{-\frac{2 \pi i}{N} k m}$
3. периодичность
   $X(k+rN)=X(k), r \in \mathbb Z$
4. выполняется Теорема Парсеваля
5. обладает спектральной плотностью
   $S(k)= | X(k) | ^2$
6. $x(n) \in \mathbb R$
   $X(0) \in \mathbb R$
   $N \mod 2 = 0 \Rightarrow X(N/2) \in \mathbb R$
   Стоит отметить, что нулевая гармоника является суммой значений сигнала.

См. также

• Преобразование Фурье
• Дискретное преобразование Хартли
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Быстрое преобразование Фурье
• Дискретное комплексное преобразование
• Оконное преобразование Фурье

Литература

• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб, 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1

Ссылки

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)  (рус.). Архивировано из первоисточника 14 февраля 2012. Проверено 15 ноября 2010.

Свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ)  (рус.). Архивировано из первоисточника 14 февраля 2012. Проверено 15 ноября 2010.