Скалярная матрица

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

$A_n = \begin{pmatrix} a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a \end{pmatrix}$

Свойства

• Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.

$a \cdot E_n = A_n$

• Множество скалярных матриц — это ровно все те матрицы, которые коммутируют со всеми квадратными матрицами того же размера, то есть для любой матрицы $S$ и скалярной матрицы $A$ того же размера: $AS = SA.$
• $\operatorname{det} A_n = a ^ n$
• $\operatorname{rang} A_n = \begin{cases} n, & a \not = 0 \\ 0, & a = 0. \end{cases}$
• $A_n^{-1} = \frac{1}{a} E_n$, где $E_n$ - единичная матрица
• Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.