- Гармоническое число
-
В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:
Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.
Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.
Содержание
Альтернативные определения
- Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
- Также верно соотношение:
- ,
- где — дигамма-функция, — постоянная Эйлера — Маскерони.
Дополнительные представления
Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках отличных от точек натурального ряда):
- Интегральные представления:
- Предельные представления:
- Разложение в ряд Тейлора в точке :
- где — дзета-функция Римана.
Свойства
Значения от нецелого аргумента
- где — золотое сечение.
Суммы, связанные с гармоническими числами
Теоретико-числовые свойства
- Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:
Приложения
В 2002 году Lagarias доказал,[1] что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство
верно при всех целых со строгим неравенством при , где — сумма делителей числа .
См. также
Примечания
- ↑ Jeffrey Lagarias An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543.
Категории:- Теория чисел
- Специальные функции
- Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
Wikimedia Foundation. 2010.