Вывод преобразований Лоренца

Вы́вод преобразова́ний Ло́ренца может быть проделан многими способами, исходя из различных предпосылок.

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым $c$), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом $c$ в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований (однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).

Алгебраический вывод

На основании нескольких естественных предположений (основным из которых является предположение о существовании принципиально максимальной скорости распространения взаимодействий) можно показать, что при смене ИСО должна сохраняться величина

$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$,

называемая интервалом. Из этой теоремы напрямую следует общий вид преобразований Лоренца (см. ниже). Здесь рассмотрим лишь частный случай. Для наглядности при переходе в ИСО $K'$, движущуюся со скоростью $v$, выберем в исходной системе $K$ ось $X$ сонаправленной с $v$, а оси $Y$ и $Z$ расположим перпендикулярно оси $X$. Пространственные оси ИСО $K'$ в момент времени $t=0$ выберем сонаправленными с осями ИСО $K$. При таком преобразовании

$y' = y, ~~ z' = z, ~~ c^2 t'^2 - x'^2 = c^2 t^2 - x^2$

Мы будем искать линейные преобразования Лоренца, так как при бесконечно малых преобразованиях координат дифференциалы новых координат линейно зависят от дифференциалов старых координат, а в силу однородности пространства и времени коэффициенты не могут зависеть от координат, только от взаимной ориентации и скорости ИСО.

То, что поперечные координаты не могут меняться, ясно из соображений изотропности пространства. Действительно, величина $y'$ не может изменяться и при этом не зависеть от $x$ (кроме как при вращении вокруг $v$, которое мы исключаем из рассмотрения), в чём легко убедиться подстановкой таких линейных преобразований в выражение для интервала. Но если она зависит от $x$, то точка с координатой $(0,x,0,0)$ будет иметь ненулевую координату $y'$, что противоречит наличию симметрии вращения системы относительно $v$ и изотропии пространства. Аналогично для $z'$.

Наиболее общий вид таких преобразований:

$y' = y, ~~ z' = z, ~~ c t' = c t \,\operatorname{ch}\,\alpha - x \,\operatorname{sh}\,\alpha, ~~ x' = x \,\operatorname{ch}\,\alpha - c t \,\operatorname{sh}\,\alpha$

где $\alpha$ — некоторый параметр, называемый быстротой. Обратные преобразования имеют вид

$y = y', ~~ z = z', ~~ c t = c t'\, \operatorname{ch}\,\alpha + x' \,\operatorname{sh}\,\alpha, ~~ x = x'\,\operatorname{ch}\,\alpha + c t'\,\operatorname{sh}\,\alpha$

Ясно, что точка, покоящаяся в ИСО $K$, должна будет двигаться в ИСО $K'$ со скоростью $-v$. С другой стороны, если точка покоится, то

$dx = 0 = dx'\,\operatorname{ch}\,\alpha + c\,dt'\,\operatorname{sh}\,\alpha$

$\frac{dx'}{c\,dt'} = -\frac{v}{c} = - \operatorname{th}\,\alpha ~ \Rightarrow ~ \operatorname{th}\,\alpha = \frac{v}{c}$

Учитывая, что при смене ИСО не должна меняться ориентация пространства, получим, что

$\operatorname{ch}\,\alpha \geqslant 0$

Следовательно, уравнение для быстроты однозначно разрешимо:

$\operatorname{ch}\,\alpha = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, ~~ \operatorname{sh}\,\alpha = \frac{v}{c \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

а преобразования Лоренца имеют вид

$\ x' = \gamma (x - vt)$

$\ t' = \gamma (t - \frac{v}{c^2} x)$

$\gamma = \operatorname{ch}\,\alpha = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Параметр $\gamma$ называется лоренц-фактором.

Группа симметрий уравнений Максвелла

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Наглядный вывод преобразований Лоренца

Примем постулаты СТО, сводящиеся к расширенному принципу относительности, утверждающему, что все физические процессы протекают в точности одинаково во всех инерциальных системах отсчёта (уточняющий его принцип постоянства скорости света в СТО означает расширение принципа относительности на электродинамику вместе с уточняющим утверждением о том, что нет никакой фундаментальной физической среды (эфира), которая выделяла бы одну из систем отсчёта на опыте — то есть если даже эфир и есть, то его наличие не должно никак нарушать принципа относительности на практике). Кроме того, полезно явно подчеркнуть, что принцип постоянства скорости света означает наличие именно конечной скорости (скорости света), заложенной в фундаментальные законы (уравнения), одной и той же для всех инерциальных систем отсчёта, причём и в каждой системе отсчёта величина скорости света одинакова для любых направлений его распространения (это используется ниже).

Преобразование для поперечных осей (п.1)

Пусть есть две бесконечные плоскости, перпендикулярные оси y. Расстояние между этими плоскостями очевидно не должно зависеть от скорости движения плоскостей вдоль самих себя (то есть переходя в себя же), а значит — не зависит от выбора системы отсчёта среди движущихся вдоль оси x. (Чтобы быть совсем уверенным в этом, можно провести мысленный эксперимент, заключающийся в измерении времени, требующегося лучу света, движущемуся вдоль y в каждой такой системе отсчёта, для того, чтобы, стартовав на одной плоскости, достичь второй, и увидеть, что такое время очевидно будет одинаковым, если верны постулаты СТО).

То же самое, конечно, верно и для оси z. Поэтому, исключив для простоты физически неинтересный случай поворота координат второй системы относительно первой на постоянный (независящий от времени) угол, получаем:

$y=y', z=z'$

Замедление времени (п.2)

Показать, что любые процессы (например ход часов) выглядят медленнее из системы отсчёта где носитель этого процесса (например часы) движется, чем в его собственной системе отсчёта (в которой он неподвижен), и найти количественно фактор такого замедления, можно, рассмотрев мысленный эксперимент со «световыми часами», представляющими собой источник и приемник света, удаленные друг от друга на известное фиксированное расстояние L, и отмеряющие, таким образом, интервал времени L/c, соответствующий времени прохождения света от источника до приемника (это можно непрерывно повторять). Все другие часы, из принципа относительности, должны идти точно так же.

Для более прямого соответствия формы полученного результата формуле прямого преобразования Лоренца, будем считать, что наши световые часы покоятся в нештрихованой системе отсчёта K, штрихованая же система отсчёта K' пусть движется для определенности вправо вдоль оси x со скоростью V. Источник и приемник расположим вдоль оси y при x=0. Это частный случай, который позволит нам получить сперва отдельно частное и более простое преобразование для времени.

Поместим источник в начальный момент времени в начало координат, обозначив его A (см. рисунок, там он изображен красной точкой), а приемник обозначим B (синяя точка). В нештрихованой системе отсчёта (на рисунке слева) импульс света летит точно по оси y (B, как и A в этой системе неподвижны). Таким образом, от излучения до поглощения света в этой системе проходит время $~t = L/c$.

В штрихованой же системе отсчёта точки A и B движутся влево со скоростью V. Особенно нас интересует движение точки B, обозначенное на рисунке пунктиром. Из-за этого ее смещения, равного $~-Vt'$, свету в этой системе отсчёта приходится пройти не расстояние L, а большее (на рисунке путь света от A к B изображен зеленой линией). Это расстояние нетрудно выразить с помощью теоремы Пифагора, и оно же равно ct', откуда:

$(c t')^2 = L^2 + (V t')^2$,

а учитывая упомянутые чуть выше $L = ct$ и выражая t' через t, имеем:

$t' = t / \sqrt{1 - V^2/c^2}$,

что и является преобразованием Лоренца для времени для условия x = 0.

(по сути же это есть замедление времени при наблюдении часов — или любого другого процесса с локальным носителем — из системы отсчёта, движущейся относительно него: мы видим, что t' > t).

Относительность одновременности (п.3)

Кроме замедления времени в движущейся системе отсчёта (замедления хода всех часов движущейся лаборатории при наблюдении их из неподвижной), оказывается, что начало отсчёта времени в движущейся системе отсчёта также не совпадает с таковым в неподвижной, причем сдвиг этого начала отсчёта — разный в различных точках — зависит от x (часы, выглядящие синхронными в своей собственной системе отсчёта, выглядят идущими с разным опережением/отставанием, зависящим от их пространственного расположения, если на них смотреть из другой системы отсчёта, такой, в которой их собственная система отсчёта движется).

Чтобы стало понятным само существо проблемы, придется так или иначе обдумать вопрос, а что значит, что часы в разных удаленных друг от друга точках пространства (например, в разных городах) идут одинаково (синхронно), как в этом можно убедиться, или как (с помощью какой процедуры) можно синхронизировать часы в разных местах, если изначально они не были синхронны.

Уже простейший способ синхронизации, заключающийся в том, что все часы синхронизируют в одном месте, а затем переносят в разные точки, позволяет качественно убедиться в том, что часы, синхронизированные в одной системе отсчёта, будут выглядеть показывающими разное время из другой системы отсчёта. Дело в том, что для часов, которые мы переносим вправо по оси x и влево по оси x, — время будет замедляться по-разному, так как их скорость будет обязательно различной в этой другой системе отсчёта.

Это можно было бы аккуратно рассмотреть количественно, получив так искомый здесь результат. Но более просто этого достичь позволяет рассмотрение синхронизации с помощью световых сигналов (а принцип относительности говорит, что любой корректный способ синхронизации должен дать один и тот же результат, в чём, впрочем, при желании можно убедиться и явно).

Итак, рассмотрим синхронизацию с помощью световых сигналов. Этот процесс может заключаться, например, в обмене световыми сигналами между двумя удаленными хронометрами: если сигналы испущены в одно и то же время, то до получения сигнала по каждым часам пройдет одно и то же время. Но еще проще несколько другой (эквивалентный этому) способ: можно точно в середине отрезка, соединяющего хронометры, произвести вспышку света, и утверждать, что свет придет к обоим хронометрам одновременно.

В собственной системе отсчёта (в которой хронометры неподвижны) картина симметрична. Однако в любой другой системе отсчёта оба хронометра движутся (для определенности будем считать, что вправо), и тогда свету от середины отрезка, соединяющего их в начальный момент, потребуется меньше времени, чтобы дойти до левого хронометра (движущегося навстречу свету), чем до правого (который импульс света должен догонять).

Таким образом, хронометры, синхронные в своей собственной системе отсчёта, по часам другой системы отсчёта выглядят несинхронными. А это и означает, что события, одновременные в одной системе отсчёта, неодновременны в другой. Это и называется относительностью одновременности.

Несложные геометрические выкладки позволяют (изобразив движение световых импульсов и хронометров на плоскости xt), получить выражение для сдвига начала отсчёта времени:

$-V x / c^2$

• (для упрощения мы здесь рассматривали только часы, разнесенные вдоль оси x, но, конечно, всё может быть рассчитано и для общего случая).

Таким образом, сводя вместе результаты пунктов 2 и 3, получаем для преобразования времени

$t' = \frac{t - Vx/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$.

Лоренцевское сокращение длины (п.4)

Рассмотрев движение светового импульса вдоль оси x (а не вдоль y, как было в п.1), и потребовав (на основании постулата одинаковости скорости света во всех инерциальных системах отсчёта), чтобы расстояние между двумя точками было всегда равно времени, за которое свет идёт от одной точки до другой, делённому на (константу) скорость света, можно получить фактор сокращения расстояний вдоль оси x, а учитывая, что смещение начала отсчёта $-Vt$ очевидно, можно получить и преобразование для x:

$x' = \frac{x - Vt}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$.

Однако ещё проще теперь понять, что $x'$ выражается именно таким образом, заметив, что в плоскости $x-ct$ график движения^[1] импульса света должен быть прямой, наклонённой под 45° (из-за того, что скорость света — всегда c), а значит и масштаб по $x$ и по $ct$ должен быть одинаковым, а выражения в системе единиц $c=1$ — симметричными.

• Таким образом достаточно наглядно получаются преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях. Конечно, возможен и обратный порядок рассуждений: можно сначала получить преобразования Лоренца каким-либо более абстрактным способом, например — одним из упомянутых в статье выше, а потом получить все эффекты, разобранные в этапах данного наглядного доказательства, в качестве простого формального следствия преобразований Лоренца.

Примечания

1. ↑ Минковский назвал такой график движения мировой линией; однако в этом параграфе мы не будем углубляться в связь преобразований Лоренца с понятием пространства Минковского в полном его объёме, прежде всего — чтобы не усложнять и не прерывать элементарный вывод, который удобнее считать независимым от каких-либо дополнительных специальных понятий, ограничившись только элементарными геометрическими и алгебраическими понятиями лишь настолько, насколько они необходимы. По сути, речь идёт именно о преобразовании координат в пространстве Минковского, причём в данном параграфе, исходя из постулата постоянства скорости света, как раз и выясняются определённые свойства этого пространства, как и преобразований Лоренца — в качестве удобных преобразований координат в нём. Но ещё раз для ясности подчеркнем, что для самого вывода не нужно знать ничего кроме того, что явно сказано в основном тексте параграфа.

Ссылки

• Преобразования Лоренца в книге Релятивистский мир