Вложенные радикалы

В алгебре, вложенным радикалом называется радикал содержащий другой радикал. Например

$\sqrt{5-2\sqrt{5}\ }$

или более сложный пример

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }.$

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,,$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \,.$

В общем случае, упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно.

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

$x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

$x^2 - 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} = x$;

$x^2 - x - 2 = 0$;

$x_1 = 2, x_2 = -1$.

Очевидно, что $-1$ не может являться значением исходного радикала. В общем случае:

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}} = \frac{1 + \sqrt {1+4a}}{2}$

Тривиальные случаи

• Для квадратного корня:

  $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{\cdots}}}}} = \frac{b + \sqrt {b^2+4a}}{2}$;

• Для корня степени $n$

  $\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{\cdots}}}}} = x,$

  где $x$ является решением уравнения $x^n - b x - a = 0$.

Нетривиальные случаи

• Формула Рамануджана:

  $x + n + a = \sqrt{a x + (n + a)^2 + x \sqrt{a(x + n) + (n + a)^2 + (x + n)\sqrt{a(x + 2n) + (n + a)^2 + (x + 2n)\sqrt{\cdots}}}}$

Частные случаи

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}$

$\frac{2}{\pi} = \sqrt\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}}} \cdots$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Вложенные радикалы (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Квадратный корень (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
• Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)

Для улучшения этой статьи желательно?: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Викифицировать статью.