Аппроксимация Паде

Аппроксимация Паде — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

$f(z) = c_n + c_1z + c_2z^2 + \ldots$

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты $a_i$ и $b_i$ и получить аппроксимант

$\frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M}.$

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года^[1] (копия диссертации хранится в библиотеке Корнелльского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение

Пусть имеется разложение функции $f(z)$ в степенной ряд Тейлора:

$f(z) = \sum^{\infty}_{i=0} {c_iz^i}$,

где $c_i$ — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

$[L/M] = \frac{a_0 + a_1z + \ldots + a_Lz^L}{b_0 + b_1z + \ldots + b_Mz^M},$

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции $f(z)$ до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет $L+1$ коэффициентов в числителе и $M+1$ — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя.

Таблица Паде

Основная статья: Таблица Паде

Обобщения

• Многоточечные аппроксимации Паде
• Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
• Аппроксимация функции нескольких переменных
• Матричные аппроксимации Паде
• Аппроксимация Паде — Чебышёва
• Аппроксимация Паде — Фурье

Численные методы нахождения

Примечания

1. ↑ H. Padé. Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles Thèse de Doctorat présentée à l’Université de la Sorbonne, 1892

Библиография

• Jeorge A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris Аппроксимации Паде = Padé approximants / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; ред. А. А. Гончар. — М.: Мир, 1986. — 502 с. — 6400 экз.

Ссылки

• Eric W. Weisstein Padé Approximant  (англ.). «MathWorld». Проверено 1 августа 2009.
• Бочканов С., Быстрицкий В. Паде-аппроксимация  (англ.). «Библиотека алгоритмов».(недоступная ссылка — история) Проверено 1 августа 2009.
• Буслаев В. И. Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации. Общеинститутский семинар «Математика и ее приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН (17 апреля 2008). — Видеозапись. Проверено 1 августа 2009.
• Калюжный О., Коковин В. Применение аппроксимаций Паде к вибрации турбореактивного двигателя  (рус.). Проверено 2012-17-12.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.