Теорема о бабочке

Теорема о бабочке является классической теоремой планиметрии. Опубликована в 1815 году в английском мужском журнале «Gentleman's Diary» (англ.). Её авторство приписывают английскому математику Уильяму Джорджу Горнеру. Сформулировать её можно следующим образом:

Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.

О доказательствах

Доказательство

Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы (например, средства проективной геометрии).

• При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек $(P,M,X,Q)$, и спроецируем его на окружность из точки $A$. Точки $P$ и $Q$ перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки $M$ и $X$ перейдут в точки $B$ и $D$ соответственно. Получаем $(P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)$ (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую $PQ$ с центром в точке $C$, получаем $(P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)$. Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.

Вариации и обобщения

Обобщение Шарыгина^[1].

Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L. Доказать, что AK = BL.

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). — М.: Гостехиздат, 1952.

Примечания

1. ↑ В. Ю. Протасов, В. М. Тихомиров. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр. 146