Симметризация и антисимметризация

Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора $T_{ij}$ — это симметричный тензор $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$, а антисимметризация — антисимметричный тензор $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$.

Операция симметризации:

$A^{n_1\ldots n_p}_{(m_1\ldots m_k)m_{k+1}m_q}=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma(m_1 \ldots m_k)}A^{n_1\ldots n_p}_{\sigma(m_1)\ldots \sigma(m_k)m_{k+1}m_q}$.

Суммирование ведётся по всем перестановкам $\sigma(m_1\ldots m_k)$ индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:

$A_{(klm)}=\frac{1}{3!}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk})$.

Операция антисимметризации или альтернирования определяется так:

$A^{n_1\ldots n_p}_{[m_1\ldots m_k]m_{k+1}m_q}=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_k)}(-1)^{\sgn \sigma} A^{n_1\ldots n_p}_{\sigma(m_1)\ldots \sigma(m_k)m_{k+1}m_q}$.

Суммирование снова ведётся по всем перестановкам $\sigma(m_1\ldots m_k)$ индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки $\sgn \sigma$. Примеры:

$A_{[klm]}=\frac{1}{3!}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk})$;

$A_k^{q[l}B_{pr}^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^{ql} B_{pr}^m - A_k^{qm} B_{pr}^l)$.

Некоторые авторы предпочитают не писать множитель $\frac{1}{k!}$ в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.

Свойства симметризации и антисимметризации

• Если $T_{i_1\ldots i_n}$ симметричен по $i_1\ldots i_n,$ то симметризация по этим индексам совпадает с $T,$ а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности $T$ по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с $T$, а симметризация даст нулевой тензор.
• Если $T_{ij} \in V\otimes V,$ то $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ Здесь $\vee$ — симметричное, а $\wedge$ — внешнее произведение векторных пространств.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Добавить иллюстрации. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.